Merge sort
Il merge sort è un algoritmo di ordinamento molto intuitivo e abbastanza rapido, che utilizza un processo di risoluzione ricorsivo.
L'idea alla base del merge sort è il procedimento Divide et Impera, che consiste nella suddivisione del problema in sottoproblemi via via più piccoli.
Il merge sort opera quindi dividendo l'insieme da ordinare in due metà e procedendo all'ordinamento delle medesime ricorsivamente. Quando si sono divise tutte le metà si procede alla loro fusione (merge appunto) costruendo un insieme ordinato.
L'algoritmo fu inventato da John von Neumann nel 1945.
Fase 1: Divide
L'insieme di elementi viene diviso in 2 metà. Se l'insieme è composto da un numero dispari di elementi, viene diviso in 2 sottogruppi dei quali il primo ha un elemento in meno del secondo.
Es. 11 => 5 e 6
Fase 2: Impera
Supponendo di avere due sequenze già ordinate. Per unirle, l'algoritmo mergesort estrae ripetutamente il minimo delle due sequenze in ingresso e lo pone in una sequenza in uscita.
Dati un array e due indici x ≤ y, denotiamo la porzione dell'array A costituita dagli elementi .
![{\displaystyle {\mathit {A[x;y]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6519a83ca46d831f052be43c09fb0e81ced8eb72)
![{\displaystyle {\mathit {A[x]...A[y]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e46689cf161b16eecb91defa4e7692706d9b491)
Esempio pratico
Supponiamo di dover ordinare il seguente array:
10 3 15 2 1 4 9 0
Si procede dividendolo in metà successive, fino ad arrivare a coppie:
10 3 15 2 1 4 9 0
A questo punto si fondono (merge) in maniera ordinata gli elementi, riunendo le metà:
10 3 -> 3 10 15 2 -> 2 15 1 4 -> 1 4 9 0 -> 0 9
Al passo successivo:
3 10 2 15 -> 2 3 10 15 1 4 0 9 -> 0 1 4 9
Infine:
2 3 10 15 0 1 4 9 -> 0 1 2 3 4 9 10 15
L'esecuzione ricorsiva all'interno del calcolatore non avviene nell'ordine descritto sopra, ma si è preferito formulare l'esempio in questo modo in maniera da renderlo più comprensibile.
merge (a[], left, center, right)
i ← left
j ← center + 1
k ← 0
while ((i <= center) && (j <= right)) do
if (a[i] <= a[j]) then
b[k] ← a[i]
i ← i + 1
else
b[k] = a[j]
j ← j + 1
k ← k + 1
end while
while (i <= center) do
b[k] ← a[i]
i ← i + 1
k ← k + 1
end while
while (j <= right) do
b[k] ← a[j]
j ← j + 1
k ← k + 1
end while
for k ← left to right do
a[k] ← b[k - left]
mergesort (a[], left, right)
if (left < right) then
center ← (left + right) / 2
mergesort(a, left, center)
mergesort(a, center+1, right)
merge(a, left, center, right)
Implementazioni
Seguono alcune implementazioni in vari linguaggi.
#include <stdio.h>
#define LEN 8
void merge(int a[], int left, int center, int right) {
int i, j, k;
int b[LEN];
i = left;
j = center+1;
k = 0;
while ((i<=center) && (j<=right)) {
if (a[i] <= a[j]) {
b[k] = a[i];
i++;
} else {
b[k] = a[j];
j++;
}
k++;
}
while (i<=center) {
b[k] = a[i];
i++;
k++;
}
while (j<=right) {
b[k] = a[j];
j++;
k++;
}
for (k=left; k<=right; k++)
a[k] = b[k-left];
}
void mergesort(int a[], int left, int right) {
int center;
if(left<right) {
center = (left+right)/2;
mergesort(a, left, center);
mergesort(a, center+1, right);
merge(a, left, center, right);
}
}
int main(void) {
int a[LEN], i;
for(i=0; i<LEN; i++) {
printf(": ");
scanf("%d", &a[i]);
}
mergesort(a, 0, LEN-1);
printf("[ ");
for(i=0; i<LEN; i++)
printf("%d ", a[i]);
printf("]\n");
return 0;
}
Questa particolare implementazione iterativa dell'algoritmo si basa su un principio inverso alla ricorsione, mentre molte implementazioni iterative tentano di imitare la ricorsione usando una pila che simuli lo stack delle funzioni ricorsive, questa invece effettua le operazioni matematicamente inverse a quelle effettuate dal metodo ricorsivo:
il metodo ricorsivo divide il vettore per due fino ad arrivare all'elemento più piccolo, l'unità indivisibile, dopodiché comincia a fondere i singoli elementi formando delle coppie ordinate, poi crea delle coppie di coppie e cosi via fino ad ottenere il vettore completo ed ordinato, durante queste operazioni però ci sono dei resti, cioè dei pezzi di vettore avanzati che non potevano formare delle coppie, questi nel metodo ricorsivo sono molto facili da gestire poiché vengono lasciati nello stack, e fusi al momento opportuno con il pezzo di vettore precedentemente ordinato tramite il merge.
Nel metodo iterativo puro invece essi sono più difficili da gestire, ma con la variabile sizetomerge e l'operazione %n (resto della divisione per n) si è cercato di simulare proprio questo concetto, ottenendo cosi un algoritmo che operasse come il merge sort ricorsivo, senza usare strutture d'appoggio stack per i dati.
Si Parte dall'elemento indivisibile per formare delle coppie da fondere fino a coprire l'intera dimensione del vettore.
v={3,2,5,6,1}
iterative merge sort()
ciclo
{
elementi indivisibili [3] [2] [5] [6] [1]
merge a due a due [2,3] [5,6] resto: [1] sizetomerge - 1
merge a due a due [2,3,5,6] resto: [1] se ci fossero altri resti verrebbero fusi tra di loro
}
- n è il numero di elementi unitari costituenti la coppia di cui fare il merge. es. n=2 merging [e1] whit [e2]
- merge() effettua il classico merge sul vettore di due sottovettori a e b dove a = [ v[start], v[center] ] e b = [ v[center], v[end] ]
- sizetomerge è la lunghezza del vettore da coprire con il merging delle coppie per la prossima iterazione
- sizetomerge%n è il numero di elementi che non possono essere accoppiati (il resto)
- quando dopo un iterazione ci sono elementi che non possono essere accoppiati sizetomerge decrementa per lasciarli da parte, mentre se c'era già un vecchio resto i due resti vengono fusi in modo ordinato e poi si decrementa sizetomerge per lasciarli da parte.
- alla fine il resto ordinato viene fuso con il vettore ordinato
void merge(int a[], int start, int center, int end, int size)
{
int i, j, k;
int app[size];
i = start;
j = center+1;
k = 0;
while ((i<=center) && (j<=end)) {
if (a[i] <= a[j]) {
app[k++] = a[i++];
}
else {
app[k++] = a[j++];
}
}
while (i<=center)
app[k++] = a[i++];
while (j<=end)
app[k++] = a[j++];
for (k=start; k<=end; k++)
a[k] = app[k-start];
printv(a,size);
//printf("merging.. {v[%d] - v[%d]} whit {v[%d] - v[%d]} \n",start,center,center+1,end);
}
void iterativemergesort(int a[],int size)
{
int sizetomerge=size-1;
size--;
int i;
int n=2;
while (n<sizetomerge*2)
{
for (i=0; (i+n-1)<=sizetomerge; i+=n)
{
merge(a,i,(i+i+n-1)/2,i+(n-1),sizetomerge);
}
i--;
if ((sizetomerge+1)%n!=0){
if (size>sizetomerge)
merge (a,sizetomerge -((sizetomerge)%n),sizetomerge,size,size);
sizetomerge=sizetomerge-((sizetomerge+1)%n);}
n=n*2;
}
if (size>sizetomerge)
merge (a,0,size-(size-sizetomerge),size,size);
}
}
//dal main chiamare iterativemergesort(vettore,dimensione del vettore);
typedef int Item;
int main() {
const int n=8;
int a[n] = {10, 3, 15, 2, 1, 4, 9, 0};
mergesort(a,0,n-1);
return 0;
}
void mergesort(Item a[], int left, int right) {
if (left<right) {
int center = (left+right)/2;
mergesort(a, left, center);
mergesort(a, center+1, right);
merge(a, left, center, right);
}
}
void merge(Item a[], int left, int center, int right) {
const int n=8;
static Item aux[n];
int i,j;
for (i = center+1; i > left; i--) aux[i-1] = a[i-1];
for (j = center; j < right; j++) aux[right+center-j] = a[j+1];
for (int k = left; k <= right; k++)
if (aux[j] < aux[i]) a[k] = aux[j--];
else a[k] = aux[i++];
}
import java.util.*;
public class Sort{
private static void mergeSort(int []a, int []vectorTemp, int left, int right ){
if (left < right){
int center = (left + right) /2;
mergeSort (a, vectorTemp, left, center);
mergeSort (a, vectorTemp, center+1, right);
merge (a, vectorTemp, left, center+1, right);
}
}
public static void mergeSort(int[]a ){
int vectorTemp [];
vectorTemp =new int [a.length];
mergeSort (a, vectorTemp, 0, a.length-1);
}
private static void merge (int[]a, int[]vectorAux, int posLeft, int posRight, int posEnd ){
int endLeft = posRight -1;
int posAux = posLeft;
int numElemen = posEnd - posLeft +1;
while (posLeft <= endLeft && posRight <=posEnd)
if ((a[ posLeft ])< (a[posRight]))
vectorAux [posAux++]=a[posLeft++];
else
vectorAux [posAux++] = a[posRight++];
while (posLeft <= endLeft)
vectorAux [posAux++]=a[posLeft++];
while (posRight <= posEnd)
vectorAux [posAux++]=a[posRight++];
for (int i=0;i<numElemen;i++,posEnd--)
a[posEnd]=vectorAux[posEnd];
}
public static void print(int[] vector) {
System.out.print("{");
for(int i=0;i<vector.length;i++) {
System.out.print(" "+vector[i]);
if(i==vector.length-1) System.out.println(" }");
else System.out.print(",");
}
}
public static void main(String[] args) {
int vector[]= { 10, 3, 15, 2, 1, 4, 9, 0};
System.out.println("Array Non Ordinato:");
print(vector);
System.out.println();
mergeSort(vector);
System.out.println("Array Ordinato Con MergeSort:");
print(vector);
}
}
Analisi delle prestazioni
Il tempo di esecuzione dell'algoritmo Merge Sort è Θ(n log n). Infatti:
- la funzione merge ha costo Θ(n), e mergesort richiama se stessa due volte ogni volta su metà della porzione di input. Quindi possiamo associare al tempo di esecuzione di mergesort la funzione temporale
che per il secondo caso del teorema master è Θ(nlogn).