Fenomeno di Runge
In analisi numerica il fenomeno di Runge è un problema relativo all'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati con polinomi di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.
È stato scoperto da Carl David Tolmé Runge mentre studiava il comportamento degli errori dell'interpolazione polinomiale per approssimare alcune funzioni.
Problema
Si consideri la funzione:
Runge trovò che interpolando questa funzione in un insieme di punti equidistanti nell'intervallo , con un polinomio di grado al più , l'interpolazione risultante oscilla in ampiezza verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso e ).
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }\left(\max _{x\in \left[-1,1\right]}\left|f(x)-P_{n}(x)\right|\right)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c495fa0933c1685f87a65ef0fbec3b528e372c7d)
Soluzione
Il controesempio di Runge mostra che non è conveniente usare polinomi di grado elevato su nodi equispaziati per interpolare una funzione. Per ottenere su funzioni di questo tipo uno schema di interpolazione il cui errore diminuisca all'aumentare del numero di nodi, si possono utilizzare i nodi di Čebyšëv anziché i punti equidistanti. Altre alternative sono l'uso dell'interpolazione spline o l'uso dell'interpolazione composita, suddividendo l'intervallo di interpolazione in più parti e calcolando su ciascun sottointervallo un polinomio interpolante di grado non elevato (ad esempio grado 1 o 2).
Voci correlate
- Fenomeno di Gibbs per le funzioni sinusoidali
- Spline cubica di Hermite
Altri progetti
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