Forma indeterminata

Nella matematica, e in particolare nel calcolo infinitesimale, le scritture

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad \infty -\infty }$

individuano le cosiddette forme indeterminate, collezioni di funzioni di una variabile reale esprimibili componendo (mediante una moltiplicazione, una divisione o un elevamento a potenza) due funzioni di variabile reale f(x) e g(x) aventi un determinato comportamento quando la variabile tende a un dato valore finito o infinito.

Consideriamo in particolare la prima delle forme sopra introdotte; la funzione

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}}$

si attribuisce alla forma ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ se f(x) e g(x) si avvicinano entrambe a 0 quando x si avvicina a qualche numero, o x tende all'∞, a +∞ o a −∞. Può accadere che questa funzione rapporto si avvicini a un qualsiasi numero reale, a +∞ o a −∞, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla retta reale estesa; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni f e g. Ad esempio,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\sin(x) \over x}=1}$ ,

mentre

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 49}{x-49 \over {\sqrt {x}}\,-7}=14}$ .

La sostituzione diretta delle funzioni a numeratore e a denominatore con i corrispondenti limiti per entrambe i precedenti rapporti porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata 0/0, mentre i limiti di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a 1 e 14 rispettivamente.

Per altri rapporti che conducono alla forma indeterminata il limite non esiste.

Osservazioni simili valgono per le altre forme indeterminate indicate in precedenza.

In molti casi, qualche semplificazione algebrica, la regola di de L'Hôpital, o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.

Tavola

Trasformazioni per risolvere forme di indeterminazione con il teorema di De l'Hopital

Forma	Condizione	Risultati	Trasformazione
${\displaystyle \lim f(x)/g(x)}$	${\displaystyle \lim f(x)=0}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=0}$	${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$	non necessaria
${\displaystyle \lim f(x)/g(x)}$	${\displaystyle \lim f(x)=\pm \infty }$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\pm \infty }$	${\displaystyle \pm {\frac {\infty }{\infty }}}$	non necessaria
${\displaystyle \lim f(x)\cdot g(x)}$	${\displaystyle \lim f(x)=0}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\pm \infty }$	${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim {\frac {f(x)}{1/g(x)}}}$  oppure ${\displaystyle \lim {\frac {g(x)}{1/f(x)}}}$
${\displaystyle \lim f(x)^{g(x)}}$	${\displaystyle \lim f(x)=1}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\infty }$	${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle e^{(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}})}}$
${\displaystyle \lim f(x)^{g(x)}}$	${\displaystyle \lim f(x)=0}$ , ${\displaystyle \lim g(x)=0}$  [1]	${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle e^{(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}})}}$
${\displaystyle \lim f(x)^{g(x)}}$	${\displaystyle \lim f(x)=\infty }$ , ${\displaystyle \lim g(x)=0}$	${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle e^{(\lim {\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}})}}$
${\displaystyle \lim(f(x)-{g(x))}}$	${\displaystyle \lim f(x)=\infty }$ , ${\displaystyle \lim g(x)=\infty }$	${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \ln(\lim {\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}})}$

Limite notevole del tipo ${\displaystyle \infty \over \infty }$

Consideriamo la successione:

${\displaystyle {P_{p}(n) \over Q_{q}(n)}}$  ${\displaystyle ={{a_{p}n^{p}+a_{p-1}n^{p-1}+...+a_{1}n+a_{0}} \over {b_{p}n^{p}+b_{p-1}n^{p-1}+...+b_{1}n+b_{0}}}}$ 

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata ${\displaystyle \infty \over \infty }$  .

Raccogliendo ${\displaystyle n^{p}}$  al numeratore e ${\displaystyle n^{q}}$  al denominatore si ha: ${\displaystyle n^{p-q}{{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+...+a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-p}} \over {b_{p}+b_{p-1}n^{-1}+...+b_{1}n^{1-p}+b_{0}n^{-p}}}}$ 

cioè

${\displaystyle n^{p-q}c_{n}}$ 

dove:

${\displaystyle c_{n}={{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+...+a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-p}} \over {b_{p}+b_{p-1}n^{-1}+...+b_{1}n^{1-p}+b_{0}n^{-p}}}}$ 

poiché ${\displaystyle n^{-k}\rightarrow 0}$ qualunque sia ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$  non nullo si ha:

${\displaystyle a_{n}={{P_{p}(n)} \over {Q_{q}(n)}}}$  vale:

• ${\displaystyle {a_{p} \over b_{q}}\ \mathbf {se} \ p=q}$ 
• ${\displaystyle sign({a_{p} \over b_{q}})\infty \ \mathbf {se} \ p>q}$ 
• ${\displaystyle 0\ \mathbf {se} \ p<q}$ 

poiché ${\displaystyle n^{p-q}}$  vale:

• ${\displaystyle 1\ \mathbf {se} \ p=q}$ 
• ${\displaystyle +\infty \ \mathbf {se} \ p\geq q}$ 
• ${\displaystyle 0\ \mathbf {se} \ p\leq q}$ 

Collegamenti esterni

Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata:
http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm

Voci correlate

• Tavola dei limiti notevoli
• Limite

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