Controllo sliding mode

Con il termine Sliding Mode o Sliding Mode Control si fa riferimento ad un controllore a struttura variabile in retroazione di stato, che modifica il comportamento di un sistema non lineare forzandolo con un segnale di controllo in alta frequenza.

Idea di base

Il controllo Sliding Mode nasce per essere robusto e versatile, per questo motivo viene spesso appellato come controllo universale. L'idea alla base di questo tipo di controllore è semplice, si controlla il sistema in modo che raggiunga una superficie detta di sliding, che rappresenta il riferimento del sistema di controllo. Per ottenere ciò il sistema viene forzato con un segnale di controllo discontinuo, che spingerà le traiettorie del sistema in direzione della superficie di sliding, le traiettorie del sistema oscilleranno intorno alla superficie stessa (chattering) e l'ampiezza delle oscillazioni è tanto più piccola quanto maggiore è la frequenza del segnale di controllo. La sintesi di un sistema di controllo che applica direttamente un'azione di tipo discontinuo apre nuovi orizzonti per il controllo di attuatori di tipo ON/OFF che tipicamente sono controllati in PWM.

Schema di controllo

La progettazione dello schema di controllo può essere sintetizzata in due passi:

1. Si sceglie una superficie (detta superficie di sliding) sulla quale le traiettorie del sistema dovranno convergere, dunque il comportamento del sistema in retroazione dipenderà dalla scelta della superficie di sliding.
2. Si sceglie una legge di controllo in funzione della superficie di sliding, questa presenta sempre un termine discontinuo e può presentare anche termini continui.

Consideriamo il sistema non lineare descritto da:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x,t)+B(x,t)u(t),\quad x\in R^{n},B\in R^{n\times m}}$

${\displaystyle (A1)\,}$

Per garantire l'esistenza e l'unicità della soluzione è necessario supporre che le funczioni f(.,.) and B(.,.) siano continue e differenziabili.

Consideriamo la superficie di sliding di dimensione (n-m)

${\displaystyle \sigma (x)=[\sigma _{1}(x),\ldots ,\sigma _{m}(x)]^{T}=0,\quad \sigma (x)\in R^{m}}$

${\displaystyle (A2)\,}$

Fondamenti teorici

I teoremi riportati in seguito sono alla base del controllo Sliding Mode e permettono di dimostrare la stabilità del sistema di controllo e valutare il comportamento sulla superficie di sliding.

Teorema 1: Stabilità

Si consideri la funzione di Lyapunov

${\displaystyle V(\sigma (x))={\frac {1}{2}}\sigma ^{T}(x)\sigma (x)}$

${\displaystyle (A3)\,}$

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superificie di slinding descritta dalle (A2), una condizione sufficiente perché il sistema sia stabile è la seguente:

${\displaystyle {\frac {dV(\sigma )}{dt}}=\sigma ^{T}{\dot {\sigma }}\;<0}$ 

in un intorno di σ=0.

La stabilità è riferita alla superficie di sliding, che rappresenta anche il riferimento per il sistema, dunque questo teorema permette di valutare se il sistema può raggiungere e permanere sulla superficie.

Teorema 2: Regione di attrattività

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superificie di slinding descritta dalle (A2), l'intorno di σ=0 per il quale il sistema risulta stabile è dato da:

${\displaystyle \sigma \;=\;\{x:\sigma ^{T}(x){\dot {\sigma }}(x)\;<0\;\forall t\}}$ 

Teorema 3: Dinamica sulla superficie di sliding

Se la matrice :${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial {x}}}B}$  non è singolare, quando il sistema è su ${\displaystyle \sigma =0}$  la dinamica sulla superficie di sliding può essere ottenuta sostituendo nelle (A1) il controllo ${\displaystyle u}$  (che verrà detto controllo equivalente)che garantisce ${\displaystyle {\dot {\sigma }}=0}$ .

Si può dimostrare che la dinamica sulla superficie di sliding è indipendente dal campo vettoriale del sistema e da disturbi agenti sul sistema, questo aspetto rende lo schema di controllo robusto e sostanzialmente universale.

Progettazione della legge di controllo

Consideriamo un sistema SISO. Definiamo la superificie di sliding come:

${\displaystyle \sigma (x)\;=\;s_{1}x_{1}+s_{2}x_{2}+\ldots +s_{n-1}x_{n-1}+x_{n}}$

${\displaystyle (A4)\,}$

Derivando la funzione di Lyapunov otteniamo:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\dot {V}}&=&\sigma (x)^{T}{\dot {\sigma }}(x)\\&=&\sigma (x)^{T}{\frac {\partial {\sigma (x)}}{\partial {x}}}{\dot {x}}\\&=&\sigma (x)^{T}{\frac {\partial {\sigma (x)}}{\partial {x}}}(f(x,t)x+B(x,t)u)\end{matrix}}}$

${\displaystyle (A5)\,}$

A questo punto è necessario scegliere un ingresso di controllo che garantisca la condizione di stabilità (Teorema 2), una possibile scelta dell'ingresso di controllo è la seguente:

${\displaystyle u(x,t)=\left\{{\begin{matrix}u^{+}(x),&{\mbox{for}}\;\sigma \;>0\\u^{-}(x),&{\mbox{for}}\;\sigma \;<0\end{matrix}}\right.}$ 

Bibliografia

• A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-hand Sides, Kluwer, 1988, ISBN 9789027726995.
• V.I. Utkin, "Sliding Modes in Control and Optimization", Springer-Verlag, 1992, ISBN 9780387535166.
• V.I., J., J. Utkin, Guldner, Shi, "Sliding Mode Control in Electromechanical Systems, Taylor & Francis, 1999, ISBN 0788401164^{ISBN non valido (aiuto)}.