Pi greco

Il Pi Greco

La costante matematica π ( si scrive "pi" dove le lettere greche non sono disponibili) è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero per cui sin(x)=0 oppure il più piccolo numero che moltiplicato per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.

π è conosciuto anche come la costante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph. Contrariamente ad un'idea comune, π non è una costante fisica o naturale, quanto piuttosto una costante matematica definita in modo astratto, indipendente dalle misure di carattere fisico.

Le prime 64 cifre decimali di π sono (sequenza A000796 del OEIS) :

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

Proprietà

π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi. Questo è stato provato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti interi o razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.

Questo risultato stabilisce a fortiori l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.

Formule che riguardano π

Geometria:

La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: C = 2 π r

L'area di un cerchio di raggio r: A = π r²

L'area di un'ellisse di semiassi a e b: A = π ab

Il volume di una sfera di raggio r: V = (4/3) π r³

La superficie di una sfera di raggio r: A = 4 π r²

Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r: V = (π r² ) h

L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r: A = ([π r²] 2 ) + ([2 π r] h )

Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti

Analisi

Formula di Leibniz:

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Prodotto di Wallis:

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Il problema di Basel:

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

risolto da Eulero. Vedi anche la funzione zeta di Riemann,

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

L'integrale di Gauss:

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}

La funzione gamma calcolata in $1/2$ :

\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}

Approssimazione di Stirling:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

$\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}$

L'identità di Eulero:

e^{\pi i}+1=0\;

definita da Richard Feynman "la più notevole formula della matematica".

π ha delle bellissime rappresentazioni come frazioni continue:

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}

(È possibile trovare altre 12 rappresentazioni a [1] )

Teoria dei numeri

La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di 6/π²

Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti è π/4.

Il numero di primi presenti nell'intervallo compreso tra 0 e n è denotato con π(n)

Sistemi dinamici / Teoria ergodica

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}

per quasi tutti i reali x₀ in [0, 1] dove gli x_i sono iterazioni della Mappa logistica per r = 4.

Fisica:

\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}

Principio di indeterminazione di Heisenberg.

R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}

Equazione di campo di Einstein della relatività generale.

F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}

Forza di Coulomb.

Probabilità e statistica

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}

La funzione della densità probabile nella distribuzione normale.

\pi ={\frac {2ln}{th}}

Buffon's needle

Storia

Il simbolo "π" per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 da William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò standard dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di περιμετροσ (perimetros), che significa 'misura attorno' in greco.

Ecco una breve cronologia di π:

20° secolo AC: i Babilonesi usavano 25/8 per π
20° secolo AC: gli Egizi (Papiro di Rhind) usano π = (16/9)²
12° secolo AC: i Cinesi usano 3 per π
434 AC: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso
3° secolo AC: Archimede scopre che 223/71 < π < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione π = 211875/67441.
20 AC: Vitruvio usa 25/8.
2° secolo: Tolomeo usa π = 377/120.
3° secolo: Chang Hong usa π = √10, Wang Fau usa π = 142/45, e Liu Hui usa π = 471/150.
5° secolo: Zu Chongzhi scopre che 3.1415926 < π < 3.1415927.
6° secolo: Aryabhatta e Brahmagupta, in India, usano rispettivamente il valore 62832/20000 e √ 10.
9° secolo: Al Khwarizmi usa 3.1416.
1220: Fibonacci usa il valore 3.141818.
1430: Al Kashi calcola le prime 14 cifre di π.
1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di π.
1593: François Vieta calcola 9 cifre di π e Dutch Adriaen van Roomen 15 cifre.
1596: Ludolph van Ceulen calcola 35 cifre di π.
1665: Isaac Newton, 16 cifre.
1699: Sharp, 71 cifre.
1700: Seki Kowa, 10 cifre.
1730: Kamata, 25 cifre.
1706: Machin, 100 cifre.
1719: De Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette.
1723: Takebe, 41 cifre.
1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo π si diffonde.
1739: Matsunaga, 50 cifre.
1761: Johann Heinrich Lambert prova che π è un numero irrazionale.
1775: Eulero ipotizza che π possa essere transcendente.
1794: von Vega, 140 cifre, di cui 136 sono corrette.
1794: Adrien-Marie Legendre dimostra che π² (e quindi π) è irrazionale, e considera la possibilità che π sia trascendente.
1824: Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette.
1844: Strassnitzky calcola fino a 200 cifre.
1847: Thomas Clausen, 248 cifre.
1853: Lehmann, 261 cifre.
1853: Rutherford, 440 cifre.
1855: Richter, 500 cifre.
1874: Shanks, 707 cifre, di cui 527 sono corrette.
1882: Lindemann dimostra che π è trascendente.

Approssimazioni numeriche di π

A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finite che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 o 22/7 è sufficiente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).

Uno scriba egizio di nome Ahmes è l'origine del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di π. Il papiro di Rhind è datato al 17° secolo AC e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.

Il matematico cinese Liu Hui calcolò π come 3,141014 (scorretto dalla quarta cifra decimale) nel 263 D.C. e suggerì 3,14 come buona approssimazione.

Il matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi calcolò nel 5° secolo π come compreso fra 3,1415926 e 3,1415927 e diede due approssimazioni di π: 355/113 e 22/7.

Il matematico ed astronomo iraniano Ghyath ad-din Jamshid Kashani, 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di π, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:

2 π = 6,2831853071795865

Il matematico tedesco Ludolph van Ceulen (1600 circa) calcolò i primi 35 decimali. Era così fiero del suo risultato che lo fece scrivere sulla sua lapide.

Il matematico sloveno Jurij Vega nel 1789 calcolò le prime 140 cifre decimali di π, di cui le prime 137 erano corrette, e mantenne il record mondiale per 52 anni, fino al 1841, quando William Rutherford calcolò 208 cifre decimale di cui le prime 152 erano corrette. Vega migliorò la formula proposta da John Machin nel 1706.

Nessuna delle formule sopraelencate può fornire un efficiente metodo per l'approssimazione di π. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

Insieme con l'espansione delle serie di Taylor per la funzione arctan(x). Questa formula si può verificare facilmente usando le coordinate polari dei numeri complessi, partendo da:

(5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244i.

Formule di questo genere sono note come formule di tipo Machin.

Espansioni decimali molto lunghe di π sono calcolate tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legedre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel 1976.

L'elenco del primo milione di cifre di π e di 1/π si può trovare sul Progetto Gutenberg (vedi il collegamento esterno a fondopagina). Il record attuale (Dicembre 2002) è di 1.241.100.000.000 di cifre, calcolate nel settembre 2002 su un supercomputer Hitachi a 64 nodi con un terabyte di memoria principale, in grado di compiere 2 miliardi di operazioni per secondo, quasi il doppio del computer usato per il precedente record (206 miliardi di cifre). Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

K. Takano (1982).

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

F. C. W. Störmer (1896).

Queste approssimazioni sono così complesse da non essere utili per nessuno scopo pratico, se non per provare nuovi supercomputer.

Nel 1996 David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprì una nuova formula per calcolare π come serie infinita:

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)

Questa formula permette di calcolare facilmente la k-esima cifra binaria o esadecimale di π senza dover calcolare tutte le cifre precedenti. Il sito web di Bailey ne contiene l'implementazione in vari linguaggi di programmazione.

Alcune altre formule usate per calcolare stime di π sono:

{\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+...)\right)\right)\right)

Newton.

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

Ramanujan.

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}

David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky.

{\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}-8\arctan {\frac {3}{79}}

Eulero.

Questioni aperte

La più pressante questione aperta su π riguarda il fatto che sia o meno normale, cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10. Non sappiamo molto su questo.

Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sovramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica la normalità in base 2 di π. Vedi il sovramenzionato sito web di Bailey per ulteriori informazioni.

La natura di π

Nelle geometrie non-euclidee la somma degli angoli interni di un triangolo può essere maggiore o minore di π e il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro può non essere π. Questo non cambia la definizione di π, ma influisce su qualsiasi formula in cui appare π. Quindi, in particolare, π non è legato alla forma dell'universo; è una costante matematica, non fisica.

Cultura legata al Pi greco

C'è un intero campo di studi divertenti ma seri che riguardano l'uso di tecniche di memorizzazione per ricordare le cifre di π.

Esempio: "Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela,volgendo circolare,mirabil relazione." Contando le lettere di ogni parola della frase si individuano le prime 14 cifre decimali di pi-greco: 3,14159265358979.