Acustica non lineare

Introduzione

Quando un'onda acustica si propaga attraverso un mezzo genera una perturbazione di natura oscillatoria che si traduce in una variazione locale della pressione nel mezzo. La velocità di propagazione della perturbazione, velocità del suono, è funzione della pressione. In particolare, la velocità del suono aumenta con l'aumentare della pressione. Le onde di compressione (compression), picchi positivi, si propagano quindi a velocità maggiore delle onde di rarefazione (rarefaction), valli, e questo effetto produce una distorsione della perturbazione, che cresce con la profondità di penetrazione. Questa modifica coincide spettralmente con il manifestarsi di componenti armoniche.

Per fare un esempio intuitivo, supponiamo di generare un'onda piana sinusoidale: durante la sua propagazione i picchi viaggeranno ad una velocità più elevata delle valli, producendo una distorsione del segnale che, da sinusoidale, tenderà ad un segnale di tipo dente di sega, generando quindi componenti armoniche originariamente non presenti. Questo fenomeno pertanto necessita di un modello fortemente non lineare per la propria descrizione, dal momento che, attraverso un modello lineare della propagazione, non potremmo spiegare la nascita di componenti frequenziali originariamente non presenti.

Equazioni fondamentali

In questo paragrafo sono introdotte le equazioni che definiscono le relazioni tra la pressione, la velocità delle particelle e le grandezze che esprimono il comportamento di un dato mezzo quando immerso in un campo acustico.

1. ${\displaystyle \partial _{k}P+\rho D_{t}v_{k}=f_{k}}$ ,
2. ${\displaystyle \partial _{k}v_{k}+\kappa D_{t}P=q}$ ,

Dove :

${\displaystyle P}$  : rappresenta la pressione espressa in Pascal ${\displaystyle Pa}$ ,

${\displaystyle v_{k}}$  : rappresenta il vettore velocita' delle particelle espresso in ${\displaystyle m/s}$ ,

${\displaystyle \rho }$  : rappresenta la densità espressa in ${\displaystyle Kg/m^{3}}$ ,

${\displaystyle \kappa }$  : rappresenta la compressibilità espressa in ${\displaystyle Pa^{-1}}$ ,

${\displaystyle f_{k}}$  : rappresenta la densita' di forza espressa in ${\displaystyle N/m^{3}}$ ,

${\displaystyle q}$  : rappresenta la densita' di 'density injection rate' espressa in ${\displaystyle s^{-1}}$ ,

${\displaystyle \partial _{k}}$  : rappresenta l'operatore gradiente nel caso vettoriale oppure una semplice derivata spaziale nel caso unidimensionale

${\displaystyle D_{t}}$  : rappresenta l'operatore derivata sostanziale.

${\displaystyle P}$  e ${\displaystyle v_{k}}$  sono quindi le grandezze che definiscono il campo acustico, ${\displaystyle \rho }$  e ${\displaystyle k}$  definiscono le caratteristiche del mezzo all'interno del quale il campo e' presente ed infine ${\displaystyle f_{k}}$  e ${\displaystyle q}$  definiscono le sorgenti.

Equazione d'onda, caso lineare

Partendo dalle equazioni fondamentali ed assumendo l'ipotesi di piccole oscillazioni del valore di pressione attorno al valore di riposo si puo' derivare l'equazione d'onda che descrive la propagazione per il modello lineare nell'ipotesi di mezzo omogeneo privo di perdite.

1. ${\displaystyle \partial _{k}^{2}P-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}\partial _{t}^{2}P=S}$ .

Dove :

${\displaystyle \partial _{t}}$  : rappresenta l'operatore derivata temporale,

${\displaystyle c_{0}^{2}={\frac {1}{\rho _{0}\kappa _{0}}}}$  : rappresenta la velocita' del suono per piccoli segnali,

${\displaystyle S=\partial _{k}f_{k}-\rho _{0}\partial _{t}q}$  : rappresenta la sorgente.

In questo modello la velocita' del suono viene considerata costante e cosi' anche la compressibilita' e la densita' del mezzo all'interno del quale la perturbazione si propaga. Utilizzando questo modello, per calcolare un campo all'interno di un mezzo omogeneo senza perdite bastera' convolvere la sorgete con la funzione di Green dal momento che questa e' soluzione dell'equazione d'onda nel momento in cui la sorgente fosse modellata come :

${\displaystyle S=\delta (x)\delta (t)}$ ,

Dove:

${\displaystyle \delta (x)}$  : rappresenta una delta di dirac spaziale,

${\displaystyle \delta (t)}$  : rappresenta una delta di dirac temporale.

Equazione d'onda, caso non lineare

Partendo dalle equazioni fondamentali si puo' derivare l'equazione d'onda che descrive la propagazione per il modello non lineare nell'ipotesi di mezzo omogeneo privo di perdite. Questa e' anche nota come equazione di Westervelt.

1. ${\displaystyle \partial _{k}^{2}P-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}\partial _{t}^{2}P=S-\rho _{0}\kappa _{0}^{2}\beta \partial _{t}^{2}P^{2}}$ .

Dove :

${\displaystyle \beta }$  : rappresenta il coefficiente di nonlinearità e varia a seconda del mezzo.

L'equazione della velocita' di propagazione puo' essere espressa come segue :

1. ${\displaystyle c={\frac {c_{0}}{\sqrt {1-{\frac {1}{\rho _{0}c_{0}^{2}}}{\frac {B}{A}}\ P^{'}}}}}$ .

Dove :

${\displaystyle P^{'}=P-P_{0}}$  : raprpesenta la variazione di pressione rispetto la pressione di riposo,

${\displaystyle {\frac {B}{A}}=2(\beta -1)}$  : tiene di conto del termine di nonlinearita'.

Osservando la formula si puo' facilmente notare come per variazioni della pressione di riposo molto piccole la velocita' di propagazione puo' considerarsi costante e di conseguenza il modello lineare sara' piu' che sufficiente. Per dare un esempio degli ordini di grandezza in gioco la pressione atmosferica puo' essere considerata al livello del mare intorno 0,1 MPa. Presupponendo di osservare la propagazione di un'onda acustica in acqua possiamo ragionevolmente assumere ${\displaystyle c_{0}=1500m/s}$ , ${\displaystyle \rho _{0}=1000Kg/m^{3}}$  e ${\displaystyle \beta =3.5}$ . Assumendo questi valori per produrre una variazione della velocita' di propagazione dell' 1% dovremmo essere in grado di generare una variazione di pressione di circa 9 MPa. E' comunque importante notare come la formula sia valida per variazioni di pressione tali da mantenere il termine sotto radice positivo.

Applicazioni

Negli anni 80 fu ossevato, per le frequenze e le pressioni tipicamente utilizzate nella generazione di immagini in ambito ecografico, un effetto non lineare cumulativo durante la propagazione di un ultrasuono attraverso un tessuto. Originariamente considerato un effetto secondario fu invece rivalutato negli anni 90 quando si intui come poter sfruttare tale distorsione per migliorare la qualita' delle immagini ecografiche. L'attuale impiego della teoria acustica non lineare, noto come Tissue Harmonic Imaging, permette di migliorare la risoluzione dell'immagine e di mitigare fenomeni indesiderati come l'echo di clutter e l'effetto di lobi secondari.

 

 

Riferimenti

• Mark F. Hamilton, David T. Blackstock, Nonlinear Acoustics: Theory and Applications.
• Robert F. T. Beyer, Nonlinear Acoustics.
• J.T. Fokkema, P.M. van den Berg, Seismic Applications of Acoustic Reciprocity.