Utente:^musaz/Sandbox4

Si consideri di applicare l'operatore di traslazione ${\displaystyle T(\epsilon )}$ per una trasformazione infinitesima, dove ${\displaystyle \epsilon }$ rappresenta la lunghezza di tale traslazione, allora

${\displaystyle T(\epsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\epsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$

${\displaystyle \int dx|x+\epsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\epsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\epsilon )}$

Se ${\displaystyle T(\epsilon )}$ è una funzione analitica (o semplicemente differenziabile), allora è possibile scrivere:

${\displaystyle T(\epsilon )\psi (x)=\psi (x+\epsilon )=\psi (x)+\epsilon {d \over dx}\psi (x)=exp\left(\epsilon {d \over dx}\right)\psi (x)}$

Il teorema di Noether per la lagrangiana afferma che per ogni simmetria della lagrangiana vi è una quantità conservata pari a

${\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}dq}$

e quindi, supponendo la stessa cosa per ${\displaystyle T(\epsilon )}$,

${\displaystyle T(\epsilon )=1-\epsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\epsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$

Se identifichiamo ora la quantità tra parentesi con:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}}$

osserviamo che l'espressione di ${\displaystyle T(\epsilon )}$

${\displaystyle T(dx)=1-{i \over \hbar }\epsilon {\hat {p}}}$

è formalmente identica all'espressione della funzione generatrice

${\displaystyle {\mathcal {F}}(x,p')=xp'+pdx}$

della trasformazione canonica

${\displaystyle x'=x+dx}$

${\displaystyle p'=p}$

che rappresenta la traslazione infinitesima, essendo ${\displaystyle x,p'}$ la funzione generatrice della trasformazione identica, dove ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle p}$ sono rispettivamente posizione e impulso classici.
Quindi ${\displaystyle {\hat {p}}}$ è l'equivalente dell'impulso classico a meno della costante di plank ${\displaystyle \hbar }$, essendo il generatore della traslazione infinitesima ${\displaystyle T(\epsilon )}$: esso è l'operatore impulso.

Note