Utente:^musaz/Sandbox4

Si consideri di applicare l'operatore di traslazione ${\displaystyle T(\epsilon )}$ per una trasformazione infinitesima, dove ${\displaystyle \epsilon }$ rappresenta la lunghezza di tale traslazione, allora

${\displaystyle T(\epsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\epsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$

che diventa

${\displaystyle \int dx|x+\epsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\epsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\epsilon )}$

Se ${\displaystyle T(\epsilon )}$ è una funzione analitica (o semplicemente differenziabile), allora è possibile scrivere:

${\displaystyle T(\epsilon )\psi (x)=\psi (x+\epsilon )=\psi (x)+\epsilon {d \over dx}\psi (x)=exp\left(\epsilon {d \over dx}\right)\psi (x)}$

Il teorema di Noether per la lagrangiana afferma che per ogni simmetria della lagrangiana vi è una quantità conservata pari a

${\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}dq=\epsilon p}$

dove si è identificato ${\displaystyle \epsilon }$ con ${\displaystyle dx}$. Inoltre si dimostra che se è possibile scrivere un operatore A come

${\displaystyle A=exp(iB)}$

allora se A è unitario B è hermitiano, e se B è hermitiano allora A è unitario. Da queste due considerazioni si evince che il generatore delle traslazioni ${\displaystyle K}$, che vogliamo hermitiano, deve avere la forma

${\displaystyle K={d \over idx}=-i{d \over dx}}$

essendo 1/i = -i. Dato che classicamente il generatore delle traslazioni è l'impulso, e K differisce da esso per una costante dimensionale, la costante di plank ridotta ${\displaystyle \hbar }$, è possibile definire l'operatore impulso nella meccanica quantistica:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}}$

Note