Particella libera

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In meccanica quantistica lo studio della particella libera in una dimensione è uno dei primi problemi che si affrontano per comprenderne i postulati interpretativi. Con particella libera si intende il fatto che essa non è sottoposta ad alcun potenziale; lo studio in una dimensione è inoltre importante perché molti problemi tridimensionali si riducono a problemi equivalenti unidimensionali.

Caso unidimensionale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger.

L'equazione di Schrödinger stazionaria, in una dimensione, è in generale

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)+V(x)\,\phi (x)=E\,\phi (x),}$ 

dove m è la massa della particella ed E l'energia dello stato ${\displaystyle \phi }$ .

Nel caso ${\displaystyle V(x)=0}$ , si ha l'equazione di Schrödinger unidimensionale per la particella libera

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=E\,\phi (x).}$ 

Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, che può essere posta nella forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=-k^{2}\cdot \phi (x),}$ 

dove ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$  è un parametro reale se ${\displaystyle E\geq 0}$ . La soluzione generale, dipendente da ${\displaystyle k}$ , può essere scritta nella forma

${\displaystyle \phi _{k}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},}$ 

con A,B coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la condizione al contorno che la funzione d'onda contenga solo una componente progressiva, si ottiene ${\displaystyle B=0}$  e

${\displaystyle \phi _{k}(x)=A\,e^{ikx},}$ 

La costante A si ricava imponendo che gli stati ${\displaystyle \phi _{k}}$  siano ortonormali. ^[1]

In generale, l'operatore hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$  e l'operatore quantità di moto ${\displaystyle {\hat {p}}}$  della particella libera commutano, così vale anche per l'energia cinetica

${\displaystyle {\hat {K}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}};}$ 

Si ha

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {p}}]=[{\hat {H}},{\hat {K}}]=0,}$ 

quindi, gli operatori ${\displaystyle {\hat {H}}}$ , ${\displaystyle {\hat {K}}}$ , e ${\displaystyle {\hat {p}}}$  ammettono una base comune di autostati. Si può verificare che la soluzione progressiva dell'equazione di Schrödinger è autofunzione della quantità di moto, essendo:

${\displaystyle \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\phi _{k}(x)=\hbar k\,\phi _{k}(x).}$ 

L'evoluzione temporale dello stato ${\displaystyle \phi _{k}}$  da luogo a un'onda piana,

${\displaystyle \psi _{k}(x,t)=A\,e^{-iE_{k}t/\hbar +ikx}=\phi _{k}(x)\,e^{-iE_{k}t/\hbar },}$ 

di energia ${\displaystyle E_{k}=p^{2}/(2m)}$  e quantità di moto ${\displaystyle p=\hbar \,k}$ , che viaggia con frequenza:

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {E_{k}}{\hbar }}={\frac {\hbar k^{2}}{2m}},}$ 

il cui vettore d'onda è k. Questa è soluzione dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\,\psi (x,t),}$ 

per una particella libera, ${\displaystyle V(x)=0}$ , preparata nello stato iniziale ${\displaystyle \psi _{(}x,0)=\phi _{k}(x)}$ .

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare delle varie onde piane ${\displaystyle \psi _{k}}$ :

${\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k}c_{k}\,\psi _{k}(x,t),}$ 

in cui i coefficienti ${\displaystyle c_{k}}$  sono normalizzati ad uno,

${\displaystyle \sum _{k}\,\vert c_{k}\vert ^{2}=1,}$ 

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

Lo spettro energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso ${\displaystyle E_{0}=0}$ ) è doppiamente degenere, perché ad ogni ${\displaystyle E_{k}\neq 0}$  corrispondono le autofunzioni ${\displaystyle \phi _{k}}$  e ${\displaystyle \phi _{-k}}$ . ^[2]

Caso tridimensionale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Particella libera tridimensionale.

In meccanica quantistica la particella libera tridimensionale è un tipico esempio di propagazione di onde sferiche. Essa è descritta da un'equazione di Schrödinger radiale tridimensionale derivata dal moto in un campo centrale in cui il potenziale è nullo. In effetti l'equazione radiale per campi a simmetria sferica è sempre la stessa mentre la soluzione della parte angolare del sistema è sempre data in termini di Armoniche sferiche, in particolare introducendo il momento angolare orbitale.

Note

1. ^ Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della Delta di Dirac

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\phi _{k^{\prime }}^{\ast }(x)\phi _{k}(x)=\vert A\vert ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }dxe^{i(k-k^{\prime })x}=2\pi \vert A\vert ^{2}\delta (k^{\prime }-k),}$ 

   per cui si può porre

   ${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.}$ 

   Una seconda possibilità consiste nel chiudere lo spazio, imponendo condizioni periodiche al contorno su una lunghezza L molto grande:

   ${\displaystyle \phi _{k}(x+L)=\phi _{k}(x).}$ 

   In tal caso, i vettori d'onda sono quantizzati

   ${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{L}},\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ 

   e si ha

   ${\displaystyle \int _{-L/2}^{L/2}dx\psi _{k_{m}}^{\ast }(x)\psi _{k_{n}}(x)=\vert A\vert ^{2}\,\delta _{nm}.}$ 

   Pertanto, è sufficiente porre ${\displaystyle A={\sqrt {\frac {1}{L}}}}$ 
2. ^ In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda.

Voci correlate

• Buca di potenziale
• Gradino di potenziale
• Particella in una scatola
• Oscillatore armonico quantistico

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