Processo stocastico

In teoria della probabilità un processo stocastico (o processo aleatorio) è la versione probabilistica del concetto di sistema dinamico. In genere, è possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali ${\displaystyle S_{t}}$, rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo ${\displaystyle t}$. In termini più precisi, un processo stocastico è una variabile casuale che prenda valori in spazi più generali dei numeri reali (come ad esempio, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, o spazi funzionali, o successioni di numeri reali).

Esempio introduttivo

Supponiamo di voler modellizzare matematicamente la dinamica di un punto che si muove su di una retta con una legge probabilistica. Possiamo introdurre un processo stocastico come la collezione delle variabili casuali ${\displaystyle \{S_{t},t\in \mathbb {R} \}}$ , dove per ogni valore della variabile tempo ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle S_{t}}$  è semplicemente la variabile casuale (reale) che esprime la legge probabilistica del punto considerato al tempo ${\displaystyle t}$ . Se decidiamo di definire ${\displaystyle S_{t}}$  in maniera differenziale tramite l'equazione

${\displaystyle dS_{t}=-S_{t}dt+dW_{t},}$ 

allora ${\displaystyle (S_{t})_{t}}$  definisce il processo di Ornstein–Uhlenbeck.

Concetti e definizioni

Le situazioni descritte dalle variabili casuali sono dette stati del sistema e vengono indicati per esempio con ${\displaystyle S_{0},S_{1},S_{2},\ldots }$ 

Se l'insieme ${\displaystyle T=\{t_{i}\}}$  è continuo, allora si parla di processo stocastico "continuo nel tempo" e analogamente, se ${\displaystyle T}$  è discreto, si parla di processo stocastico "discreto nel tempo". In alternativa si usa la formulazione "processo stocastico a parametro discreto" o "continuo".

Se la variabile casuale è discreta allora si parla di "processo stocastico discreto", se invece è una v.c. continua allora si parla di "processo stocastico continuo" (sottinteso "nello spazio degli eventi").

I processi stocastici si distinguono in markoviani e non markoviani a seconda che la legge di probabilità che determina il passaggio da uno stato all'altro (probabilità di transizione) dipenda unicamente dallo stato di partenza (processo markoviano) o anche dagli stati ad esso precedenti (processo non markoviano).

Se la probabilità di transizione dipende dagli stati precedenti ma non dipende esplicitamente dal tempo t, allora si parla di processo stocastico omogeneo.

I processi stocastici ciclostazionari servono per descrivere processi generati da fenomeni periodici.

Bibliografia

• (EN) Malempati Madhusudana Rao (1995): Stochastic Processes: General Theory, Kluwer, ISBN 0-7923-3725-5
• (EN) Kiyoshi Itō (2004): Stochastic Processes, Springer, ISBN 3-540-20482-2

Voci correlate

• Variabile casuale
• Spazio di probabilità
• Funzione càdlàg

Collegamenti esterni

• (DE) Quantenphysik und Indeterminismus
• (EN) The problem of indeterminism
• (IT) Indeterminismo

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