Regressione Fama-MacBeth

Template:Stub economia Nelle applicazioni empiriche dell'economia finanziaria, una regressione Fama-MacBeth è un metodo di stima applicato a un panel di dati. Ipotizzando un panel di ${\displaystyle T}$ anni (o giorni, settimane, mesi: in generale, periodi), ove per ogni anno ${\displaystyle t=1,\ldots ,T}$ si hanno ${\displaystyle N_{t}}$ osservazioni sezionali, la procedura di Fama-MacBeth parte dalla stima di ${\displaystyle T}$ regressioni su dati sezionali:

${\displaystyle \ y_{i}^{(t)}=\alpha _{t}+\beta _{t}'x_{i}^{(t)},\quad i=1,\ldots ,N_{t},\ t=1,\ldots ,T}$

Si ottiene così una serie di ${\displaystyle T}$ stime dei coefficienti ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t}}$, ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{t}}$; la stima di Fama-MacBeth dei parametri ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ e ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ è data da una media delle ${\displaystyle T}$ stime:

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\alpha }}_{t}}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\beta }}_{t}}$

Il metodo di Fama-MacBeth rappresenta un metodo immediato di stima di modelli di regressione su dati panel, ed è particolarmente indicato in presenza di correlazione seriale nelle variabili ${\displaystyle y_{it}}$, ${\displaystyle x_{it}}$ (in quanto ne elimina gli effetti sulle stime -- v. regressione spuria -- per costruzione).

La procedura prende il nome da Eugene Fama e James MacBeth, che per primi la applicarono in un noto lavoro apparso nel 1973 sul Journal of Political Economy.

Descrizione del metodo e inferenza

Come illustrato sopra, le stime dei parametri di un modello di regressione lineare:

${\displaystyle \ y_{i}^{(t)}=\alpha _{t}+\beta _{t}'x_{i}^{(t)},\quad i=1,\ldots ,N_{t},\ t=1,\ldots ,T}$ 

sono ottenute, tramite il metodo di Fama e MacBeth, come:

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\alpha }}_{t}}$ 

${\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\beta }}_{t}}$ 

dove ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t}}$ , ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{t}}$  sono le stime dei parametri ${\displaystyle \alpha }$  e ${\displaystyle \beta }$  per lo stesso modello, stimato su dati relativi a un singolo anno (o periodo di tempo in cui è suddiviso il panel di dati).

Le statistiche t di Student per il test dell'ipotesi nulla che un coefficiente del modello sia uguale a zero sono date da:

${\displaystyle {\hat {t}}_{k}={\frac {{\hat {\beta }}^{(k)}}{\sqrt {{\frac {1}{T(T-1)}}\sum _{t=1}^{T}\left({\hat {\beta }}_{t}^{(k)}-{\hat {\beta }}^{(k)}\right)^{2}}}}}$ 

dove ${\displaystyle {\hat {\beta }}^{(k)}}$  denota la componente ${\displaystyle k}$ -esima del vettore di stime ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ .

Bibliografia

Contributi storici

• Fama, E. e James D. MacBeth, 1973, Risk, Return and Equilibrium: Empirical Tests, Journal of Political Economy 81(3), 607-636.

Manualistica

• Cochrane, J., 2004, Asset Pricing - Revised Edition, Princeton University Press; descrive nel dettaglio la procedura di Fama-MacBeth nel capitolo 12.