Quadrigradiente

In fisica, il quadrigradiente è un operatore differenziale che generalizza il concetto di gradiente ai quadrivettori. Si tratta di un operatore vettoriale che applicato a una funzione scalare genera un quadrivettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione rispetto alle quattro coordinate.

Definizione

Il quadrigradiente è il quadrivettore definito come:

${\displaystyle \partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}={}_{,\alpha }}$ 

Detto ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$  il tensore metrico, nello spaziotempo piatto esso è ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ , e si ha:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =g^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)}$ 

Il quadrato del quadrigradiente è il quadrilaplaciano, chiamato anche operatore di d'Alembert:

${\displaystyle \Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$ .

ed è il prodotto scalare di due quadrivettori. L'operatore di d'Alembert è un operatore scalare Lorentz invariante.

Bibliografia

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0821807722.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Voci correlate

• Derivata parziale
• Equazione di continuità
• Gradiente
• Operatore di d'Alembert
• Operatore di Laplace
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski