Assiomi di Peano

Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di caratterizzare l'insieme dei i numeri naturali.

Un modo informale di desrivere gli assiomi può essere il seguente:

1. 0 è un numero naturale
2. il successore di un numero naturale è un numero naturale
3. 0 non è il successore di alcun numero naturale
4. numeri diversi hanno successori diversi
5. ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di tutti i suoi elementi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

I primi due assiomi ci dicono che abbiamo a che fare con un insieme ${\displaystyle X}$ (i "numeri naturali") che contiene un elemento 'speciale' ${\displaystyle x_{0}}$ (lo "zero") e che è dominio e codominio di una funzione ${\displaystyle S:X\rightarrow X}$ (il "successore"). Gli altri tre assiomi descrivono le proprietà di questa funzione in un modo che formalmente è il seguente:

(P1) ${\displaystyle S(x)\neq x_{0}}$ per ogni ${\displaystyle x\in X}$

(P2) ${\displaystyle S(x)=S(y)}$ implica ${\displaystyle x=y}$

(P3) se ${\displaystyle U}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ tale che:

1. ${\displaystyle x_{0}\in U}$
2. ${\displaystyle k\in U}$ implica ${\displaystyle k+1\in U}$

allora ${\displaystyle U=X}$

Chiaramente tali assiomi sono verificati se consideriamo ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$, l'insieme dei numeri naturali, ${\displaystyle x_{0}=0}$ e ${\displaystyle S(x)=x+1}$. Tuttavia possono essere verificati da altri modelli, ad esempio se ${\displaystyle X=\{2n:n\in N\}}$, l'insieme dei numeri pari, ${\displaystyle x_{0}=0}$ e ${\displaystyle S(x)=x+2}$. Questo significa che l'insieme dei numeri naturali con lo zero ed il successore non sono univocamente caratterizzati dagli assiomi (P1),(P2) e (P3). Quello che è importante tuttavia è che gli assiomi di Peano sono sufficienti a caratterizzare la struttura dei numeri naturali, cioè caratterizzano l'insieme a meno di isomorfismi. Questa proprietà degli assiomi viene chiamata categoricità. L'affermazione che gli assiomi di Peano sono categorici è nota nell'ambito della logica formale come Teorema di Categoricità per gli assiomi di Peano del secondo ordine.

L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di Principio di Induzione ed è uno strumento molto usato nelle dimostrazioni.

Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della logica del primo ordine che viene generalmente chiamata con l'acronimo PA (Peano Arithmetic) ed ha un ruolo molto importante nella teoria della computabilità e nella logica matematica.