Logica fuzzy
Template:Stub matematica La Fuzzy Logic o logica sfumata o logica sfocata è un'estensione della logica booleana, basata su un grado di verità di ciascuna proposizione. È fortemente legata alla teoria degli insiemi sfocati e, già intuita da Descartes, Bertrand Russell, Einstein ed Heisenberg, venne concretizzata da Lotfi Zadeh.
Quando parliamo di grado di verità o valore di appartenenza, per dirla con un'esemplificazione, intendiamo che una proprietà può essere oltre che vera (= a valore 1) o falsa (= a valore 0) come nella logica classica, anche di valori intermedi. In logica fuzzy si può ad esempio dire che un bambino appena nato è giovane di valore 1, un diciottenne è giovane 0,8, ed un sessantacinquenne è giovane di valore 0,15. Solitamente il valore di appartenza si indica con μ; per il valore di appartenenza ad un insieme fuzzy F di un predicato p, si indicherà con
Fuzzy logic: concetti fondamentali
Nel 1994 Zadeh scriveva: “Il termine “logica fuzzy” viene in realtà usato in due significati diversi. In senso stretto è un sistema logico, estensione della logica a valori multipli, che dovrebbe servire come logica del ragionamento approssimato. Ma in senso più ampio “logica fuzzy” è più o meno sinonimo di “teoria degli insiemi fuzzy” cioè una teoria di classi con contorni indistinti. Ciò che è importante riconoscere è che oggi il termine “logica fuzzy” è usato principalmente in questo significato più vasto”.
La teoria degli insiemi fuzzy costituisce un’estensione della teoria classica degli insiemi poiché per essa non valgono i principi aristotelici di non contraddizione e del terzo escluso (o del tertium non datur). Si ricorda che, dati due insiemi A e !A (non-A), il principio di non contraddizione stabilisce che ogni elemento appartenente all’insieme A non può contemporaneamente appartenere anche a non-A; secondo il principio del terzo escluso, d’altro canto, l’unione di un insieme A e del suo complemento non-A costituisce l’universo del discorso.
In altri termini, se un qualunque elemento non appartiene all’insieme A, esso necessariamente deve appartenere al suo complemento non-A.
Tali principi logici conferiscono un carattere di rigida bivalenza all’intera costruzione aristotelica, carattere che ritroviamo, sostanzialmente immutato ed indiscusso, sino alla prima metà del XX secolo, quando l’opera di alcuni precursori di Zadeh (in primis Max Black e Jan Lukasiewicz) permette di dissolvere la lunga serie di paradossi cui la bivalenza della logica classica aveva dato luogo e che essa non era in grado di chiarire. Il più antico e forse celebre di tali paradossi è quello attribuito ad Eubulide di Megara (VI secolo a.C.), noto anche come paradosso del mentitore, il quale recita:
Il cretese Epimenide afferma che tutti i cretesi sono bugiardi.
Orbene, la logica bivalente aristotelica si dimostra incapace di stabilire se questa semplice proposizione sia vera o falsa. Essa è strutturalmente incapace di dare una risposta proprio in quanto bivalente, cioè proprio perché ammette due soli valori di verità: vero o falso, bianco o nero, tutto o niente. In realtà, quello esposto è un paradosso autoreferenziale, giacché contiene un riferimento a sé stesso; ciò implica che ogni tentativo di risolvere la questione posta si traduce in un’oscillazione senza fine tra due estremi opposti: il vero implica il falso, e viceversa. Infatti, se quanto afferma Epimenide è vero, allora tutti i cretesi mentono: pertanto, poiché Epimenide è cretese, quindi mente, dobbiamo concludere che tutti i cretesi non mentono. Viceversa, se l’affermazione di Epimenide è falsa, allora tutti i cretesi, compreso quindi lo stesso Epimenide, non mentono, e pertanto si deduce che tutti i cretesi mentono.
Da ciò si deduce finalmente che l’enunciato del paradosso di Eubulide non è né vero né falso, ma è semplicemente una mezza verità o, in maniera equivalente, una mezza falsità. Quanto esposto conferma la sua validità in tutti i paradossi di autoriferimento.
Nella Fuzzy Logic, l’esistenza di circostanze paradossali, vale a dire di situazioni in cui un certo enunciato è contemporaneamente vero e falso allo stesso grado, è evidenziata da ciascuno dei punti d’intersezione tra una generica funzione d’appartenenza e il suo complemento, avendo necessariamente tali punti ordinata pari a ½. Ciò in quanto il valore di verità della proposizione in questione coincide con il valore di verità della sua negazione.
Fuzzy e probabilità
Per capire la differenza tra logica fuzzy e teoria della probabilità, facciamo questo esempio: un lotto di 100 bottiglie d'acqua ne contiene 5 di veleno. Diremo allora che la probabilità di prendere una bottiglia di acqua potabile è 0,95. Tuttavia una volta presa una bottiglia, o è potabile, o non lo è: le probabilità collassano a 0 od 1. Se invece prendiamo una bottiglia b contenente una miscela di acqua e veleno, al 95% di acqua, allora avremo .
I valori fuzzy possono variare da 0 ad 1 (come le probabilità) ma, diversamente da queste, descrivono eventi che si verificano in una certa misura mentre non si applicano ad eventi casuali bivalenti (che si verificano oppure no, senza valori intermedi).
I rapporti tra logica sfumata e teoria della probabilità sono estremamente controversi e hanno dato luogo a polemiche aspre e spesso non costruttive tra i seguaci di ambedue gli orientamenti. Da una parte, infatti, i probabilisti, forti di una tradizione secolare e di una posizione consolidata, hanno tentato di difendere il monopolio storicamente detenuto in materia di casualità ed incertezza, asserendo che la logica sfumata è null'altro che una probabilità sotto mentite spoglie, sostenuti in tale convinzione dalla circostanza, da ritenersi puramente accidentale, che le misure di probabilità, al pari dei gradi d’appartenenza agli insiemi fuzzy, sono espresse da valori numerici inclusi nell'intervallo reale [0, 1].
Gli studiosi di parte fuzzy, al contrario, hanno mostrato che anche la teoria probabilistica, nelle sue varie formulazioni (basate, secondo i casi, sugli assiomi di Kolmogorov, su osservazioni concernenti la frequenza relativa d’accadimento di determinati eventi, oppure sulla concezione bayesiana soggettivista, secondo cui la probabilità è la traduzione, in forma numerica, di uno stato di conoscenza contingente), è in definitiva una teoria del caso ancora saldamente ancorata ad una Weltanschauung deterministica.
Infatti, secondo la suggestiva e penetrante interpretazione di uno dei più brillanti allievi di Zadeh, Bart Kosko, la probabilità è l'intero nella parte, ossia la misura di quanto la parte contiene l'intero. Questa concezione comporta un'affermazione apparentemente singolare, quella per cui la parte può contenere l'intero, non soltanto nel caso banale in cui la parte coincide con l'intero; infatti, l'operatore di contenimento non è più bivalente, ma è esso stesso fuzzy e può pertanto assumere in linea di principio un qualunque valore reale compreso tra 0 (non contenimento) a 1 (contenimento completo o, al limite, coincidenza).