Operatore differenziale

In matematica un operatore differenziale è un operatore lineare definito come una funzione dell'operatore differenziazione.

Notazioni

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:

${\displaystyle {d \over dx}}$ 

${\displaystyle D,\,}$  quando la variabile di differenziazione è chiara, e

${\displaystyle D_{x},\,}$  quando la variabile è dichiarata esplicitamente.

Per le derivate successive

${\displaystyle d^{n} \over dx^{n}}$ 

${\displaystyle D^{n}\,}$ 

${\displaystyle D_{x}^{n}.\,}$ 

La notazione D è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$ 

nello studio delle equazioni differenziali.

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}$ 

Un'altro operatore differenziale è l'operatore Θ, definito come

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$ 

Proprietà degli operatori differenziali

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle derivate, che sono lineari

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)}$ 

${\displaystyle D(af)=a(Df)}$ 

dove f e g sono funzioni e a è una costante.

Ogni polinomiale in D con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

(D₁oD₂)(f) = D₁ [D₂(f)].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore D₂ deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore D₁ richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è commutativo: un operatore gD non è in generale uguale a Dg. Per esempio la relazione semplice in meccanica quantistica

Dx − xD = 1.

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in D con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

Più variabili

La stessa costruzione può essere usata con le derivate parziali.

Descrizione indipendente dalle coordinate

In geometria differenziale e in geometria algebrica è spesso conveniente avere una descrizione degli operatori indipendente dalle coordinate.

Voci correlate

• Operatore differenziale lineare