Trasformata di Legendre

In matematica, la trasformata di Legendre, il cui nome è dovuto a Adrien-Marie Legendre, è un procedimento che trasforma una funzione a valori reali di variabile reale in un'altra funzione.

Trasformazione di Legendre di una generica funzione ${\displaystyle f(x)}$. La funzione è disegnata in rosso, la retta tangente a ${\displaystyle x_{0}}$ è in blu. La retta tangente interseca l'asse verticale in ${\displaystyle (0,f^{\star })}$, mentre ${\displaystyle f^{\star }}$ è il valore della trasformata di Legendre ${\displaystyle f^{\star }(p)}$, con ${\displaystyle p={\dot {f}}(x_{0})}$.

Definizione

La trasformata di Legendre ${\displaystyle f^{\star }}$  di una funzione convessa reale ${\displaystyle f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  è data da:

${\displaystyle f^{\star }(p)=\sup _{x}{\bigl (}px-f(x){\bigr )}\qquad p\in \mathbb {R} }$ 

Nel caso ${\displaystyle f}$  sia differenziabile la trasformata ${\displaystyle f^{\star }}$  può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse ${\displaystyle y}$  di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza ${\displaystyle p}$ . Per calcolare l'estremante di ${\displaystyle px-f(x)}$  rispetto a ${\displaystyle x}$ , che è la massima distanza tra la funzione e la retta ${\displaystyle y=px}$ , si pone la derivata nulla:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(px-f(x)\right)=p-{df(x) \over dx}=0}$ 

sicchè il valore massimo si verifica quando:

${\displaystyle p={df(x) \over dx}=f'(x)}$ 

Nel caso ${\displaystyle f(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  si ha:

${\displaystyle \nabla _{x}\left(p\cdot x-f(x)\right)=0}$ 

ed il vettore ${\displaystyle p}$  coincide con il gradiente:

${\displaystyle p=\nabla f(x)}$ 

Scrivendo ${\displaystyle x}$  in funzione di ${\displaystyle p}$  e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:

${\displaystyle f^{\star }(f'(x))=xf'(x)-f(x)=p\,\,x(p)-f(x(p))}$ 

dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da ${\displaystyle p}$ . La trasformata di Legendre trasforma ${\displaystyle f}$  in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata ${\displaystyle f'}$  invece che da ${\displaystyle x}$ .

Funzione generatrice

Un modo di scrivere esplicitamente ${\displaystyle f^{\star }(p)}$  si ottiene differenziando la funzione ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle df=f'(x)\,dx={\frac {df}{dx}}dx=p\,dx}$ 

Introducendo la funzione ausiliaria ${\displaystyle g=f-px}$  si ha:

${\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp}$ 

essendo ${\displaystyle df=p\,dx}$ . Si ha pertanto:

${\displaystyle x(p)=-{\frac {dg}{dp}}}$ 

La funzione ausiliaria ${\displaystyle g}$  si chiama generatrice.

In generale, si dimostra che se e ${\displaystyle g(p)=f^{\star }(p)}$  allora ${\displaystyle x(p)=\nabla g(p)}$ , dove ${\displaystyle x(p)}$  è la soluzione di ${\displaystyle p=(\nabla f)(x)}$ . Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata ad una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.

Esempio

Ad esempio, nel caso in cui ${\displaystyle f(x)=\log x}$  si ottiene che:

${\displaystyle p={\frac {df}{dx}}={\frac {1}{x}}}$ 

e quindi:

${\displaystyle f^{\star }(p)=\log {\frac {1}{p}}}$ 

Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:

${\displaystyle g=\log x-px\qquad x=-{\frac {dg}{dp}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}+p{\frac {dx}{dp}}+x}$ 

e semplificando:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{dp}}=p{\frac {dx}{dp}}}$ 

da cui:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}=p}$ 

Hamiltoniana

  Lo stesso argomento in dettaglio: Meccanica hamiltoniana ed Equazioni di Hamilton.

In analisi funzionale l'hamiltoniana ${\displaystyle H(q_{i},p_{i},t)}$  è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema ${\displaystyle \Lambda (q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$ , con:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\operatorname {d} \Lambda }{\operatorname {d} {\dot {q}}_{i}}}}$ 

Nel caso di sistemi ad un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, il differenziale di ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$  si scrive:

${\displaystyle \operatorname {d} \Lambda ={\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\operatorname {d} q+{\frac {\partial \Lambda }{\partial {\dot {q}}}}\operatorname {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}\operatorname {d} t={\dot {p}}\operatorname {d} q+p\operatorname {d} {\dot {q}}+{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}\operatorname {d} t={\dot {p}}\operatorname {d} q+\operatorname {d} ({\dot {q}}p)-{\dot {q}}\operatorname {d} p+{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}\operatorname {d} t}$ 

da cui:

${\displaystyle d({\dot {q}}p-\Lambda )=-{\dot {p}}\operatorname {d} q+{\dot {q}}\operatorname {d} p-{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}\operatorname {d} t.}$ 

Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a ${\displaystyle q}$ , cioè dipendente da:

${\displaystyle p={\frac {\partial \Lambda }{\partial {\dot {q}}}}}$ 

Se si pone ${\displaystyle H(q,p,t)={\dot {q}}(t)p(t)-\Lambda (q,{\dot {q}}(q,p,t),t)}$ , sapendo che il differenziale di ${\displaystyle H(q,p,t)}$ , dipendente da ${\displaystyle q}$  e ${\displaystyle p}$ , è:

${\displaystyle \operatorname {d} H={\frac {\partial H}{\partial q}}\operatorname {d} q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\operatorname {d} p+{\frac {\partial H}{\partial t}}\operatorname {d} t}$ 

uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton:

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}\qquad {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\qquad {\partial \Lambda \over \partial t}=-{\partial H \over \partial t}}$ 

dove ${\displaystyle p}$  e ${\displaystyle q}$  sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

Funzioni termodinamiche

  Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di stato.

Per il primo principio della termodinamica si ha:

${\displaystyle dU=\delta Q-pdV\qquad \delta Q=pdV+dU}$ 

e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:

${\displaystyle \delta Q=TdS}$ 

Sostituendo:

${\displaystyle dU(S,V)=TdS-pdV}$ 

Assumendo come variabili libere (o naturali) ${\displaystyle S}$  e ${\displaystyle V}$ , cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare ${\displaystyle U}$ :

${\displaystyle dU(S,V)={\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}dS+{\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}dV}$ 

da cui:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}\right)_{V}\qquad p=-\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}\right)_{S}}$ 

Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}}$ 

Ora si può operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche ed altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.

• Entalpia ${\displaystyle H}$ :

${\displaystyle dH(S,p)=d(U+pV)=TdS+Vdp\qquad T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p}}$ 

${\displaystyle V=\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{S}\qquad \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}}$ 

• Energia libera di Helmholtz ${\displaystyle A}$  (secondo la IUPAC, ${\displaystyle F}$  secondo altre convenzioni):

${\displaystyle dA(T,V)=d(U-TS)=-SdT-pdV\qquad S=-\left({\frac {\partial A}{\partial T}}\right)_{V}}$ 

${\displaystyle p=-\left({\frac {\partial A}{\partial V}}\right)_{T}\qquad \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}$ 

• Energia libera di Gibbs ${\displaystyle G}$ :

${\displaystyle dG(T,p)=d(U+pV-TS)=-SdT+Vdp}$ 

${\displaystyle S=-\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p}\qquad V=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T}\qquad -\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}$ 

Riassumendo si ha:

${\displaystyle H(S,p)=U(S,V)+pV\qquad A(T,V)=U(S,V)-TS\,}$ 

${\displaystyle G(T,p)=U(S,V)+pV-TS=H(S,p)-TS}$ 

Bibliografia

• Herbert Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, 2005.
• C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica I (Meccanica e Termodinamica), 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0, Liguori Editore, 1996.
• (EN) Arnol'd, Vladimir Igorevich, Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition), Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3.
• (EN) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, paperback republication of 1970, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-01586-4.

Voci correlate

• Adrien-Marie Legendre
• Polinomi di Legendre
• Equazioni differenziali
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Meccanica hamiltoniana
• Funzione di stato

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