Doppio pendolo

Il doppio pendolo è un sistema fisico costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro. Il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali e, per alcuni valori dell'energia, il suo moto è caotico.

Il doppio pendolo è costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro.

Analisi

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere pendoli semplici o composti (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza ${\displaystyle \ell }$  e le masse ${\displaystyle m}$ , e il moto è limitato ad un piano.

 

Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza ${\displaystyle \ell }$  e massa ${\displaystyle m}$ .

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il centro di massa di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il momento di inerzia rispetto a tale punto è ${\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}}$ . Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da ${\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ .

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come coordinata generalizzata per definire lo spazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ₁ e θ₂. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un sistema di riferimento cartesiano il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono

${\displaystyle x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},}$ 

${\displaystyle y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1},}$ 

mentre per il secondo pendolo si ha

${\displaystyle x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),}$ 

${\displaystyle y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).}$ 

Con queste informazioni si può scrivere la lagrangiana del sistema.

Lagrangiana

La lagrangiana è

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\mathrm {Energia~cinetica} -\mathrm {Energia~potenziale} \\&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$ 

Il primo termine è l'energia cinetica di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionale assumendo una accelerazione costante ${\displaystyle g}$ . La notazione ${\displaystyle {\dot {x}}}$  indica la derivata rispetto al tempo (notazione di Newton).

Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova

${\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$ 

 

Moto di un doppio pendolo composto (calcolato con integrazione numerica delle equazioni del moto).

 

Foto presa con lunga esposizione di un doppio pendolo, tracciato con un LED. Si nota il moto caotico.

L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono momenti generalizzati conservati. I due momenti possono essere scritti come

${\displaystyle p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]}$ 

e

${\displaystyle p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].}$ 

Invertendo queste espressioni si trova

${\displaystyle {{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}}$ 

e

${\displaystyle {{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}$ 

Le altre equazioni del moto sono

${\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]}$ 

e

${\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].}$ 

Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ₁ e θ₂ in funzione del tempo^{[senza fonte]}. Si può tuttavia usare un'integrazione numerica, ad esempio con i metodi di Runge-Kutta.

Moto caotico

 

Grafico del tempo necessario perché il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali

.

Il doppio pendolo si muove con moto caotico, ed è molto sensibile alle condizioni iniziali. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolge, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ₁ (direzione orizzontale nel grafico) va da −3 a 3, e θ₂ (direzione verticale nel grafico) va da −3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro ${\displaystyle 10{\sqrt {\ell /g}}}$  (in verde), entro ${\displaystyle 100{\sqrt {\ell /g}}}$  (rosso), ${\displaystyle 1000{\sqrt {\ell /g}}}$  (viola) or ${\displaystyle 10000{\sqrt {\ell /g}}}$  (blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro ${\displaystyle 10000{\sqrt {\ell /g}}}$  sono in bianco.

Il bordo della regione bianca è definita in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.\,}$ 

All'interno della regione definita da questa curva, cioè se

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,\,}$ 

è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.

La mancanza di una frequenza di eccitazione ha portato a usare un sistema a doppio pendolo ne progetto di edifici antisismici, in cui l'edificio stesso è un pendolo invertito, e una massa secondaria completa il doppio pendolo.

Bibliografia

• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, 2nd edition, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1986, ISBN 0-07-041342-8.

Collegamenti esterni

• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
• Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
• Northwestern University, Double Pendulum, (Java applet simulation.)
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).
• Animazioni e spiegazioni di Mike Wheatland (Univ. Sydney): [1], [2]
• Video di un doppio pendolo con tre condizioni iniziali (quasi) identiche.
• Simulazioni da www.myphysicslab.com
• Simulationi, equazioni e spiegazioni del Pendolo di Rott
• Video di confronto di un doppio pendolo con le stesse condizioni iniziali su YouTube
• Double Pendulum Simulator - Simulatore opensource scritto in C++ usando il Qt tookit.
• Vadas Gintautas, Alfred Hübler (2007). Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201 Articolo che preseta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.

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