Pi greco

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Pi greco (disambigua).

La costante matematica π (si scrive pi dove le lettere greche non sono disponibili) è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1. Molti libri moderni di analisi matematica definiscono π usando le funzioni trigonometriche, per esempio come il più piccolo numero strettamente positivo per cui sen(x)=0 oppure il più piccolo numero che diviso per 2 annulla cos(x). Tutte le definizioni sono equivalenti.

Pi greco
Simbolo
Valore
Frazione continua	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...] (sequenza A001203 dell'OEIS)
Insieme	numeri trascendenti
Costanti correlate	Costante di Gelfond, Costanti zeta
Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di una ruota e il suo diametro è π

π è conosciuto anche come la costante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph. Contrariamente ad un'idea comune, π non è una costante fisica o naturale, quanto piuttosto una costante matematica definita in modo astratto, indipendente dalle misure di carattere fisico.

Le prime 100 cifre decimali di π sono (EN) Sequenza A000796, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation. :

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067...

Proprietà

  Lo stesso argomento in dettaglio: Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea.

 

Poiché π è un numero trascendente, quadrare il cerchio non è possibile in un numero finito di passi usando riga e compasso.

π è un numero irrazionale, non può cioè essere scritto come quoziente di due interi, come dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Questo significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui π è radice. Di conseguenza, è impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e delle loro radici.

Questo risultato stabilisce l'impossibilità della quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio.

Formule che riguardano π

Geometria analitica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria.

• La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r:

${\displaystyle C=2{\pi }r}$ 

• L'area di un cerchio di raggio r:

${\displaystyle A={\pi }{r^{2}}}$ 

• L'area di un'ellisse di semiassi a e b:

${\displaystyle A={\pi }ab}$ 

• Il volume di una sfera di raggio r:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}{\pi }{r^{3}}}$ 

• La superficie di una sfera di raggio r:

${\displaystyle S=4{\pi }{r^{2}}}$ 

• Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r:

${\displaystyle V={\pi }{r^{2}}h}$ 

• L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r:

${\displaystyle S=2{\pi }r\cdot (r+h)}$ 

• Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti.
• Il volume di un cono di altezza h e raggio r:

${\displaystyle V={\pi }{r^{2}}{\frac {h}{3}}}$ 

Analisi

  Lo stesso argomento in dettaglio: Analisi matematica.

• Formula di Viète, 1593:

${\displaystyle 2{\frac {2}{\sqrt {2}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\ldots =\pi }$ 

• Formula di Leibniz:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$ 

dalla quale si ricava che:

${\displaystyle {\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+{\frac {1}{13\cdot 15}}+{\frac {1}{17\cdot 19}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}}$ 

• Formula di Nilakantha

${\displaystyle {\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 9}}+...=\pi -3}$ 

Una serie molto elegante, che fornisce direttamente le cifre decimali di π.

• Formula di Madhava (circa 1400)

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\cdots \right)}$ 

• Prodotto di Wallis:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$ 

• Il problema di Basilea:

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 

risolto da Eulero. Un'altra formula che usa la funzione zeta di Riemann:

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$ 

• Il prodotto di Eulero

${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{11^{2}}}\right)}}\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 

Dove il prodotto percorre tutti i numeri primi

• L'integrale di Gauss:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}$ 

• L'integrale di Eulero

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}du={\sqrt {2\pi }}}$ 

• I seguenti integrali definiti

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+{x^{2}}}}\,dx=\pi }$ 

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ 

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {sen} (x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$ 

• L'integrale di Fresnel

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\cos(x^{2})\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {sen} (x^{2})\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$ 

• La funzione gamma calcolata in ${\displaystyle 1/2}$ :

${\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}$ 

• L'approssimazione di Stirling:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 

• La funzione phi di Eulero:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}}$ 

• L'identità di Eulero:

${\displaystyle e^{\pi i}+1=0\;}$ 

definita da Richard Feynman «la più notevole formula della matematica».

• Prodotto infinito di Eulero con i numeri primi dispari:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{4}}\times {\frac {7}{8}}\times {\frac {11}{12}}\times {\frac {13}{12}}\times {\frac {17}{16}}\times {\frac {19}{20}}\times {\frac {23}{24}}\times {\frac {29}{28}}\times {\frac {31}{32}}\times \cdots \!}$ 

dove al numeratore vi sono tutti i numeri primi dispari e al denominatore il multiplo di quattro più vicino al numeratore.

Una formula notevole che dimostra, come il prodotto di Eulero, la sorprendente relazione tra pi greco e i numeri primi. È però di convergenza molto lenta e quindi inadatta al calcolo dei decimali di pi greco.^[1]

• Formula basata sulla serie armonica, con "correzione" dei segni (Eulero, 1748)

${\displaystyle \pi ={1}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots }$ 

dove i segni si determinano come segue: il numero 2 ha segno positivo; i numeri primi della forma (4m - 1) hanno segno positivo; i numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo; per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori.^[2]

Anche questa serie, pur molto notevole ed elegante, è di convergenza estremamente lenta. Occorre infatti sommare oltre 2 milioni di termini per ottenere due decimali esatti.^[3]

• Il Teorema dei residui:

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}$ 

• π ha delle rappresentazioni come frazioni continue:

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+{\frac {11^{2}}{2+...}}}}}}}}}}}}}$ 

• La frazione continua di Ramanujan:

${\displaystyle {\sqrt {\phi ^{2}+1}}=\phi +{\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}}$ 

dove ${\displaystyle \phi }$  è il rapporto aureo (${\displaystyle 1,618...}$ ).

• Data una semicirconferenza di raggio r centrata nell'origine del piano cartesiano, πr è definibile come lunghezza in forma cartesiana esplicita su tutto il dominio della funzione che descrive la semicirconferenza:

${\displaystyle f\left(x\right):={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ 

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{r}}\int _{-r}^{r}{\sqrt {\left({\frac {d}{dx}}f\left(x\right)\right)^{2}+1}}dx}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{r}}{\int _{-r}^{r}{\sqrt {{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}+1}}dx}}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{r}}[{\mathrm {arcsen} \left(r\right)-\mathrm {arcsen} \left(-r\right)]}}$ 

Teoria dei numeri

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria dei numeri.

• La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di:${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$ 
• Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due quadrati perfetti è:${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ .

Sistemi dinamici, teoria ergodica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico e Teoria ergodica.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}}$  per quasi tutti i reali x₀ in [0, 1] dove gli x_i sono iterazioni della Mappa logistica per r = 4.

Probabilità e statistica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Probabilità e Statistica.

• La funzione di densità di probabilità nella distribuzione normale.

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}}$ 

• Il naturalista francese Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, scoprì che lasciando cadere un ago su una superficie piana come un pavimento con delle linee parallele distanti quanto la lunghezza dell'ago, la probabilità che quest'ultimo cada toccando una delle linee è esattamente uguale a 2/π, che equivale a circa il 64%. Questo problema è noto come Ago di Buffon.^[4]

Aerodinamica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Aerodinamica.

• La massima pendenza (teoria di Glauert) del tratto lineare della curva ${\displaystyle C_{L}/\alpha }$  (ovvero coefficiente di portanza diviso l'angolo d'attacco) per qualsiasi profilo alare bidimensionale sottile è ${\displaystyle 2\pi }$ .

Fisica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Fisica.

• Periodo di oscillazione del pendolo

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ 

• Trasformata di Fourier

${\displaystyle {\mathcal {F}}f(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm {d} t}$ 

• Principio di indeterminazione di Heisenberg

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$ 

• Equazione di campo di Einstein della relatività generale

${\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}$ 

• Forza di Coulomb

${\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}$ 

Approssimazioni numeriche di π

 

Prime 10.000 cifre decimali di pi greco.

A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finite che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 è sufficiente, ma molti ingegneri spesso usano 3,1416 (cinque cifre significative) o 3,14159 (6 cifre significative).

${\displaystyle \pi \simeq 3{,}14159\ 26535\ 8979\dots }$ 

Uno scriba egizio di nome Ahmes è lo scrittore del più antico testo conosciuto contenente un'approssimazione di ${\displaystyle \pi }$ , il papiro di Rhind, datato al XVII secolo a.C. e descrive il valore come 256/81 oppure 3,160.

Archimede elaborò un metodo con cui è possibile ottenere approssimazioni comunque buone di π e lo usò per dimostrare che esso è compreso tra 223/71 e 22/7 (la media dei due valori è circa 3,1419).

Il matematico cinese Liu Hui calcolò π come 3,141014 (scorretto dalla quarta cifra decimale) nel 263 e suggerì 3,14 come buona approssimazione.

Il matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi calcolò nel V secolo π come compreso fra 3,1415926 e 3,1415927 e diede due approssimazioni di π : 355/113 e 22/7.

Il matematico ed astronomo iraniano Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi, 1350-1439, calcolò le prime 9 cifre in base 60 di π, che sono equivalenti nella base decimale alle 16 cifre:

2 π = 6,2831853071795865

Il matematico tedesco Ludolph van Ceulen (1600 circa) calcolò i primi 35 decimali. Era così fiero del suo risultato che lo fece scrivere sulla sua lapide.

Il matematico sloveno Jurij Vega nel 1789 calcolò le prime 140 cifre decimali di π, di cui le prime 137 erano corrette, e mantenne il record mondiale per 52 anni, fino al 1841, quando William Rutherford calcolò 208 cifre decimali di cui le prime 152 erano corrette. Vega migliorò la formula proposta da John Machin nel 1706.

Altre approssimazioni di π :

${\displaystyle ^{3}{\sqrt {31}}=3{,}1413\dots }$ 

${\displaystyle ^{4}{\sqrt {\frac {2143}{22}}}=3{,}14159\ 26525\dots }$ 

Tuttavia, nessuna delle formule sopraelencate può fornire un efficiente metodo per l'approssimazione di π. Per calcoli veloci, si può usare una formula come quella di Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ 

Insieme con l'espansione delle serie di Taylor per la funzione arctan(x). Questa formula si può verificare facilmente usando le coordinate polari dei numeri complessi, partendo da:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244\,i.}$ 

Formule di questo genere sono note come formule di tipo Machin.

Espansioni decimali molto lunghe di π sono calcolate tipicamente con l'algoritmo Gauss-Legendre e l'algoritmo Borwein; in passato era usato anche l'algoritmo Salamin-Brent, inventato nel 1976.

L'elenco del primo milione di cifre di π e di 1/π si può trovare sul Progetto Gutenberg (vedi il collegamento esterno a fondopagina). Nel (dicembre 2002) il calcolo è arrivato a di 1.241.100.000.000 di cifre (1,2411 × 10 ¹²), calcolate nel settembre 2002 da Yasumasa Kanada su un supercomputer Hitachi a 64 nodi con un terabyte di memoria principale, in grado di compiere 2 miliardi di operazioni per secondo, quasi il doppio del computer usato per il precedente record (206 miliardi di cifre). Sono state usate le seguenti formule di tipo Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ 

K. Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ 

F. C. W. Störmer (1896).

Approssimazioni così precise non sono in realtà utilizzate per nessuno scopo pratico, se non per provare le prestazioni di nuovi supercomputer o per analisi statistiche sulle cifre di pi greco.

Nel 1996 David H. Bailey, insieme a Peter Borwein e Simon Plouffe, scoprì una nuova formula per calcolare π come serie infinita:

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$ 

Questa formula permette di calcolare facilmente la k-esima cifra binaria o esadecimale di π senza dover calcolare tutte le cifre precedenti. Il sito web di Bailey ne contiene l'implementazione in vari linguaggi di programmazione.

Alcune altre formule usate per calcolare stime di π sono:

• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+\cdots }$ 

da Newton.

• ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$ 

da Ramanujan.

• ${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$ 

da David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky.

• ${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$ 

da Eulero.

• ${\displaystyle {\frac {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4n^{2}-1}}\right)}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}}}={\frac {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{15}}\right)\left(1+{\frac {1}{35}}\right)\cdots }{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{35}}+\cdots }}=\pi }$ 

nota come Formula simmetrica

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\sqrt {2}}-1)^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{8}}.}$ 

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2-{\sqrt {3}})^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{12}}.}$ 

da Chebyshev

• ${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}}$ 

• ${\displaystyle \pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\zeta (n+1)}$ 

Altre formule d'approssimazione sono contenute nella tabella sottostante:^[5][6]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {32}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {27}{4Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {72}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {3528}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}}$

Storia

 

Simbolo di pi greco

Il simbolo π per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi π è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco. Inoltre il simbolo π venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 lo svizzero Eulero usava il simbolo p.

Ecco una breve cronologia di π:

Nell'antichità

• XX secolo a.C.: i Babilonesi usavano 25/8 per π (=3,125)
• XX secolo a.C.: gli Egizi (Papiro di Rhind) usano π = (16/9)² = 3,1605
• XII secolo a.C.: i Cinesi usano 3 per π
• 550 a.C.: Nell'Antico Testamento si dice (non esplicitamente) che il π è uguale a 3
• 434 a.C.: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso
• 430 a.C.: Antifonte il sofista e Brisone di Eraclea esprimono il principio di esaustione
• 335 a.C.: Dinostrato usa la quadratrice per quadrare il cerchio
• III secolo a.C.: Archimede, utilizzando l'esaustione e il metodo di compressione, calcola su poligoni di 96 lati che 223/71 < π < 22/7^[7], e trova inoltre l'approssimazione π = 211875/67441 = 3,14163...
• I secolo a.C.: Vitruvio usa 25/8 ^[8]
• II secolo d.C.: Tolomeo usa π = 377/120 = 3,14166...^[9]
• III secolo d.C.: Chang Hong usa π = √10, Wang Fau usa π = 142/45 e Liu Hui usa π = 157/50

Nel Medioevo

• V secolo (450 circa): Zu Chongzhi scopre che 3,1415926 < π < 3,1415927, e utilizza il valore 355/113 = 3,1415929...
• VI secolo(530 circa): Aryabhata, in India, utilizza il valore 62832/20000
• VII secolo(650 circa): Brahmagupta, in India, utilizza il valore √10
• IX secolo: al Khwarizmi usa 3,1416
• 1220: Fibonacci usa il valore 3,141818
• 1430: al Kashi calcola le prime 14 cifre di π

Misure moderne

• 1573: Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di π
• 1593: François Viète calcola 9 cifre di π e Adriaan van Roomen 16 cifre
• 1596: Ludolph van Ceulen calcola 20 cifre di π
• 1610: van Ceulen, 35 cifre
• 1621: Willebrord Snell perfeziona il metodo di Archimede
• 1654: Christiaan Huygens dimostra la validità del perfezionamento di Snell
• 1655: John Wallis trova un prodotto infinito razionale per π; William Brouncker lo converte in una frazione continua
• 1663: Muramatsu Shigekiyo in Giappone trova 7 cifre decimali esatte
• 1665: Isaac Newton scopre il calcolo infinitesimale e calcola il π fino alla 16ª cifra decimale
• 1671: James Gregory scopre le serie delle arcotangenti
• 1674: Leibniz scopre la serie delle arcotangenti per π
• 1699: Abraham Sharp, 72 cifre
• 1700: Seki Kowa in Giappone calcola 10 cifre
• 1730: Kamata in Giappone calcola 25 cifre
• 1706: John Machin, 100 cifre
• 1713: La Corte Cinese pubblica il Su-li Ching-yun e presenta le prime 19 cifre decimali di π
• 1719: Thomas Fantet de Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette
• 1723: Takebe Kenko in Giappone calcola 41 cifre
• 1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo π si diffonde
• 1739: Matsunaga, 50 cifre
• 1748: Eulero pubblica l'Introductio in analysis infinitorium contenente il cosiddetto Teorema di Eulero e molte serie per π e π²
• 1761: Johann Heinrich Lambert prova che π è un numero irrazionale
• 1775: Eulero deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e ipotizza che π possa essere trascendente

Misure contemporanee

• 1794 – Jurij Vega, 140 cifre, di cui 136 sono corrette
• 1794 – Adrien-Marie Legendre dimostra che π² (e quindi π) è irrazionale, e considera la possibilità che π sia trascendente
• 1841 – William Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette
• 1844 – Johann Dase calcola 200 cifre
• 1847 – Thomas Clausen, 248 cifre
• 1853 – Lehmann, 261 cifre
• 1853 – William Rutherford, 440 cifre
• 1855 – Richter, 500 cifre
• 1874 – William Shanks, 707 cifre, ma solo 527 sono corrette
• 1874 – Tseng Chi-hung calcola in Cina 100 cifre
• 1882 – Ferdinand von Lindemann dimostra che π è trascendente
• 1947 - D. F. Ferguson: 620 cifre decimali, calcolate utilizzando una calcolatrice da tavolo
• gennaio 1947- D. F. Ferguson: 710 cifre decimali (calcolatrice da tavolo)
• settembre 1947 – D. F. Ferguson: 808 cifre decimali (calcolatrice da tavolo)
• 1949 – George Rietwiesner, John von Neumann e Nicholas Constantine Metropolis: 2037 cifre calcolate in 70 ore utilizzando l'ENIAC. Da questo momento in poi tutti i calcoli delle cifre di pi greco verranno effettuati utilizzando calcolatori elettronici.
• 1954 – La marina statunitense calcolò 3089 cifre in 13 minuti alla presentazione del NORC (il supercomputer commissionato alla IBM)
• 1958 – "Paris Data Processing Center": 10 000 cifre calcolate in un'ora e 40 minuti utilizzando un IBM 704
• 1961 – John Wrench e Daniel Shanks (nessuna parentela con William Shanks): 100 265 cifre in 8 ore e 43 minuti, con un IBM 7090
• 1966 – "Paris Data Processing Center": 250 000 cifre di pi greco con un IBM 7030 Stretch
• 1967 – "Paris Data Processing Center": 500 000 cifre con un computer CDC 6600
• 1973 – Jean Guilloud e M. Bouyer: 1 000 000 cifre calcolate in 23 ore e 18 minuti con il computer CDC 7600
• 1976 – Eugene Salamin e Richard Brent svilupparono indipendentemente un algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del Pi greco, algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli integrali ellittici di Carl Friedrich Gauss
• 1982 – Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada: 8 388 608 cifre in meno di 30 ore con l'algoritmo di Gauss-Brent-Salamin, con un Hitachi M-280H
• 1988 – Yasumasa Kanada: 201 326 000 cifre calcolate in 6 ore utilizzando un Hitachi S-820
• maggio 1989 – i fratelli David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky: 480 000 000 di cifre
• giugno 1989 - David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky: 535 339 270 di cifre
• luglio 1989 – Yasumasa Kanada: 536 870 898 di cifre
• agosto 1989 – David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky: 1 011 196 691 di cifre (oltre 1 miliardo), su un IBM 3090
• 19 novembre 1989 - Yasumasa Kanada e Yoskiaki Tamura: 1 073 740 799 di cifre (1,07 miliardi), HITAC S-3800/480
• 18 maggio 1994 – David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky: 4 044 000 000 di cifre (oltre 4 miliardi), utilizzando un computer domestico. Dettagli sconosciuti, record non verificato.
• 26 giugno 1994 - Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi: 3 221 220 000 di cifre (3,22 miliardi)^[10]
• 11 ottobre 1995 – Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi: 6 442 450 000 di cifre (6,44 miliardi)^[11]
• 1997 – Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura: 51 539 607 552 di cifre (51,5 miliardi) calcolate in poco più di 29 ore utilizzando un computer Hitachi SR2201^[12]
• 5 aprile 1999 - Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi: 68 719 470 000 di cifre (68,72 miliardi)^[13]
• 20 settembre 1999 - Yasumasa Kanada e Daisuke Takahaski: 206.158.430.000 di cifre (206,16 miliardi)^[14]
• 2002 – Yasumasa Kanada: 1241,1 miliardi di cifre calcolate in 600 ore (25 giorni) con un Hitachi SR8000/MPP a 128 nodi^[15].
• 29 aprile 2009 - Daisuke Takahashi: 2 576 980 377 524 di cifre (2 576 miliardi) in 29.09 ore con un Supercomputer T2K Open a 640 nodi (velocità di ogni nodo: 147.2 GigaFLOPS), all'Università di Tsukuba a Tsukuba, in Giappone.^[16]
• 31 dicembre 2009 - Fabrice Bellard: 2 699 999 990 000^[17] di cifre (quasi 3000 miliardi) in 121 giorni di calcolo totali, utilizzando un computer domestico: CPU Intel Core i7 a 2,97 GHz, 6 GB di RAM e 7,5 TB di memoria fissa, utilizzando 5 hard disk Seagate Barracuda da 1,5 TB l'uno. Il calcolo è stato effettuato sfruttando l'algoritmo di Chudnovsky.
• 2 agosto 2010 - Shigeru Kondo: 5 000 000 000 000^[18] di cifre (5 000 miliardi) in 90 giorni di calcolo, utilizzando un computer domestico modificato, con 2 processori Intel Xeon X5680 a 3,33 GHz (12 core fisici, 24 con hyperthreading), 12 banchi da 8 GB di RAM, per un totale di 96 GB RAM DDR3 a 1066 MHz; per ottenere il risultato ha sfruttato l'applicazione y-cruncher^[19], sviluppata da Alexander Yee, su un OS Microsoft Windows Server 2008.

Questioni aperte

La più pressante questione aperta su π riguarda il fatto che sia o meno normale, cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10.^[20] Non sappiamo molto su questo; per esempio, non sappiamo nemmeno quale delle cifre 1, ..., 9 ricorre infinite volte nell'espansione decimale di π,^[21] benché sia chiaro che almeno due cifre devono ricorrere infinite volte, poiché in caso contrario π sarebbe razionale, mentre invece non lo è.

Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sopramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica che la normalità in base 2 di π si deduce da una plausibile congettura della teoria del caos.^[22]

Non si sa neanche se π e e siano algebricamente indipendenti, sebbene Yuri Valentinovich Nesterenko abbia dimostrato l'indipendenza algebrica di {π, e^π, Γ(1/4)} nel 1996.^[23]

La natura di π

Mentre, nella geometria euclidea, la somma degli angoli interni di un triangolo misurata in radianti è uguale a π, nelle geometrie non-euclidee la stessa somma può essere maggiore (geometria ellittica) o minore (geometria iperbolica) e il rapporto fra una circonferenza ed il suo diametro può non essere π. Questo non cambia la definizione di π, piuttosto cambia la costante che appare nelle formule (che diventa un numero diverso da π). Quindi, in particolare, π non è legato alla forma dell'universo; è una costante matematica, non fisica.

La legge dell'Indiana su π

  Lo stesso argomento in dettaglio: Progetto di legge dell'Indiana sul pi greco.

Un divertente aneddoto riguardante π secondo il quale uno stato degli USA avrebbe cercato di fissarne per legge il valore al numero 3, ha in effetti radici storiche.^[24] Lo stato in questione era l'Indiana, dove nel 1897 il deputato T.I. Record, della contea di Posey, presentò alla Camera dei deputati un disegno di legge redatto dal matematico e fisico dilettante Edward (o Edwin) J. Goodwin.

Nel testo del disegno di legge^[25], Goodwin si presentava come il solutore dei problemi della trisezione dell'angolo, della duplicazione del cubo, e della quadratura del cerchio (problemi la cui impossibilità di una soluzione era già all'epoca ampiamente dimostrata). Il suo disegno di legge riguardava l'introduzione di una "nuova verità matematica" consistente nel suo metodo per la quadratura del cerchio. Il testo in effetti non menziona specificamente π, benché l'effetto pratico sia quello di fissarne il valore. Il disegno di legge è confuso e contiene affermazioni sorprendenti, introdotte da frasi del tipo: "Poiché la regola ora in uso ... non funziona ..., è opportuno che essa venga rifiutata come insufficiente e ingannevole per le applicazioni pratiche.". Bisogna notare che, anche come quadratura del cerchio, quella di Goodwin era una procedura molto scadente, che dà per le aree coinvolte un errore relativo di 1−π/4, circa il 21% (un cerchio di area pari a 80 avrebbe, usando la regola di Goodwin, un'area di circa 64).

Oltre a fissare scorrettamente il valore di

${\displaystyle {\sqrt {2}}=10/7\approx 1{,}429}$ 

ed a seconda della lettura che ne viene data, la procedura di Goodwin fissa da tre a nove nuovi valori per π discendenti da diverse affermazioni presenti nel testo e in scritti di Goodwin sulla questione. Alcune presenti nel testo sono:

• la circonferenza di un cerchio sta al diametro come 5/4 a 4, da cui π varrebbe 16/5 o 3,2;
• l'area di un cerchio è uguale all'area di un quadrato il cui lato è pari ad 1/4 la circonferenza del cerchio, da cui π varrebbe 4;
• il rapporto tra un arco di 90 gradi alla sua corda è 8/7: questo renderebbe π pari a

${\displaystyle {\sqrt {2\times 16/7}}\approx 3{,}23}$ .

Al progetto di legge fu assegnato il numero 246 e venne assegnato all'esame della Commissione per le aree palustri, che si dichiarò incompetente e lo inviò alla Commissione per l'educazione. Questa, con parere favorevole, lo rinviò all'aula, dove fu approvato all'unanimità con un voto di 67 a 0. Uno dei motivi del voto fu che il "professor" Goodwin, pur avendo brevettato il proprio metodo, lo offriva in usufrutto gratuito alle scuole dell'Indiana.

Per il passaggio al Senato, il Bill 246 fu inviato alla Commissione per la Temperanza, che lo approvò in prima lettura. Stando al Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers il disegno di legge fu poi affondato quando un membro della commissione lo mostrò a Clarence Abiathar Waldo, un professore di matematica alla Purdue University che si trovava nell'edificio del Senato per altre faccende, chiedendogli se gli sarebbe piaciuto conoscerne il geniale autore. Waldo rispose che conosceva già abbastanza matti e passò il resto della giornata e parte della notte a parlare con altri Senatori della Commissione. Il Bill 246 non andò mai in seconda lettura.

Come si vede, la proposta non era di porre π a 3: il fatto che la versione più popolare dell'aneddoto riporti questo numero deriva forse dal fatto che nell'antichità esso era spesso utilizzato come valore approssimato, come ad esempio si vede dal seguente passo biblico:

«Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all'altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza»

(Cronache, 4:2)

Cultura legata al Pi greco e curiosità

• C'è un intero campo di studi divertenti, ma seri, che riguardano l'uso di tecniche di memorizzazione per ricordare le cifre di π. Esempio: "Già: è bene e utile ricordare le dodici cifre del greco parametro". Oppure: "Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo circolare, mirabil relazione". O ancora: " Ave o Roma, o madre gagliarda di latine virtù, che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza". Contando le lettere di ogni parola in ciascuna frase si individuano le prime 12, 14 e 19 cifre decimali di π: 3,14159265358979 (nel primo caso, l'ultima cifra è arrotondata per motivi evidenti al decimale superiore). Una forma mnemonica più avanzata è "Che n'ebbe d'utile Archimede, da ustori vetri, sua somma scoperta? Umanitade incerta, infantile, che ad ogni progenie vede negato il divin vero. Ma non combatte già la terrena fragilità."

• Esistono gare organizzate per la recita a memoria delle cifre di pi greco, ed anche record mondiali. Nel 2002 il giapponese Akira Haraguchi di Chiba, 59 anni, ha recitato a memoria 83.431 cifre ^[26]. Il record ufficiale, riconosciuto dal Guinness Book of Records, appartiene tuttavia al cinese Lu Chao dello Jiangxi, che il 19 novembre 2005, all'età di 24 anni, ha recitato 67.890 cifre esatte, impiegando 24 ore e 4 minuti ^[27]. Il record precedente apparteneva allo studente giapponese Hiroyuki Goto, che nel 1995 era arrivato "appena" a 42.192 cifre.

• La popstar Kate Bush ha interamente dedicato al numero π il secondo brano (intitolato per l'appunto π) del suo ottavo album Aerial, del 2005, nel quale reciterebbe le sue prime 140 cifre. Ma anche altri musicisti ed artisti in genere hanno dedicato alcune loro opere alla costante.

• Il 14 marzo si celebra il "giorno di pi greco", in quanto nella sua scrittura anglosassone (3/14) esso ricorda l'approssimazione più comune di π.^[28] Pi greco si celebra anche il 22 luglio, in quanto nella sua scrittura numerica (22/7) esso ricorda la frazione che meglio approssima il valore di π.

Note

1. ^ Un calcolo col programma Mathematica ha dato i seguenti risultati: 1.000 termini 3,1458...; 10.000 termini 3,1424...; 100.000 termini 3,1417...
2. ^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 2000, cap. 21.
3. ^ Alcuni risultati ottenuti col programma Mathematica: 1.000 termini 3,0603...; 5.000 termini 3,1027...; 50.000 termini 3,1324...; 500.000 termini 3,1379...; 2 milioni di termini 3,1398...; 3 milioni di termini 3,1404...
4. ^ Cento anni dopo il matematico Augustus de Morgan propose ad alcuni dei suoi studenti di verificare i calcoli di Leclerc. Dopo 600 lanci aveva toccato le linee per 382 volte, da cui si ricava un valore di π di 3,14. Se si volesse verificare più accuratamente il risultato (ad esempio trovando anche la terza cifra decimale) occorrerebbe effettuare decine di migliaia di lanci.
5. ^ The world of Pi - Simon Plouffe / David Bailey
6. ^ Collection of series for $\pi $
7. ^ Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π
8. ^ De Architectura X, 9, 1, in linea su LacusCurtius.
9. ^ La frazione 377/120 approssima il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio di raggio 60, laddove il 60 coincide con la base dei numeri sessagesimali utilizzati da Tolomeo nell'Almagesto.
10. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_3b
11. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_6b
12. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_51b
13. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_68b
14. ^ ftp://pi.super-computing.org/README.our_latest_record_206b
15. ^ SR8000
16. ^ http://www.hpcs.is.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi.html
17. ^ http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf
18. ^ Pi - 5 Trillion Digits
19. ^ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program
20. ^ Eric W Weisstein, Normal Number, su mathworld.wolfram.com, MathWorld, 22 dicembre 2005. URL consultato il 10 novembre 2007.
21. ^ Paul Preuss, Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key, Lawrence Berkeley National Laboratory, 23 luglio 2001. URL consultato il 10 novembre 2007.
22. ^ Ivars Peterson, Pi à la Mode: Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits, in Science News Online, 1º settembre 2001. URL consultato il 10 novembre 2007. Parametro sconosciuto archiveurl ignorato (aiuto); Parametro sconosciuto archivedate ignorato (aiuto)
23. ^ Nesterenko, Yuri V, Modular Functions and Transcendence Problems, in Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1, vol. 322, n. 10, 1996, pp. 909–914.
24. ^ Vedi anche: questo e questo resoconto.
25. ^ Consultabile sul sito della Purdue University: [1]
26. ^ New world record - Akira Haraguchi recites 83.431 digits of pi
27. ^ Chinese student sets pi record
28. ^ www.corriere.it

Bibliografia

• Giovanni Gentili Belloni, Pi greco - 4000 anni di storia dalle Piramidi al computer, Edizioni Lulu, 2007.
• Jean-Paul Delahaye, L'affascinante numero π, Ghisetti e Corvi Editori, Milano, 2003, ISBN 88-8013-905-3
• David Blatner, Le gioie del π, Garzanti, Milano, 1999
• Petr Beckmann, A History of π. St. Martin's Press; 1971.
• Philip J. Davis, Il mondo dei grandi numeri . Zanichelli Bologna

Sulla legge dell'Indiana:

• "Indiana's squared circle" di Arthur E. Hallerberg (Mathematics Magazine, vol. 50 (1977), pp. 136–140).
• David Singmaster, "The legal values of pi" (Mathematical Intelligencer, vol. 7 (1985), pp. 69 – 72)

Voci correlate

• Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea
• Dimostrazione della irrazionalità di π
• Calcolo di pi greco
• Cerchio
• Circonferenza
• Identità di Eulero
• Ago di Buffon
• Papiro di Rhind
• Quadratura del cerchio
• Giorno del pi greco
• Pi greco (prime 100 mila cifre)

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Collegamenti esterni

Siti sulla storia di π

• J J O'Connor e E F Robertson: A history of Pi. Mac Tutor project
• Alla ricerca del valore di Pi
• PlanetMath: Pi
• Storia del calcolo di Pi di Alessandra Del Piccolo - Progetto Polymath
• (EN) Richard Preston, The Mountains of Pi, su newyorker.com, New Yorker, 2 marzo 1992. URL consultato il 27 luglio 2009.
• Il pi greco? Non è soggetto a copyright dal Corriere della Sera

Siti con formule per calcolare π

• Pi Formulas su Wolfram Math World
• Collection of Series for pi

Siti con le cifre di π

• Pi to one MILLION decimal places
• Statistiche sui primi 1,2 miliardi di cifre di pi
• Un testo del Progetto Gutenberg contenente un milione di cifre di pi
• Pi-memory

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