Meccanica razionale
La meccanica razionale (o meccanica analitica) è la branca della fisica matematica che studia il moto dei sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà. L'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei modelli studiati con i dati sperimentali, quanto verso lo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate in questi modelli.
Descrizione
La meccanica razionale ha importanti legami con la teoria generale dei sistemi dinamici, con la teoria della relatività e con la meccanica quantistica; nonostante ciò i sistemi studiati da questa disciplina appartengono prevalentemente alla meccanica classica.
Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di punti materiali soggetti a forze, sia che essi siano liberi di muoversi in uno spazio vettoriale (come la retta, il piano o lo spazio tridimensionale ordinario), sia che siano vincolati a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da varietà differenziabili. Siccome gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che pur essendo costituiti da un numero infinito di punti materiali sono soggetti a particolari vincoli (come nel caso dei corpi rigidi) che ne rendono finito il numero di gradi di libertà.
Le tecniche matematiche utilizzate permettono di distinguere all'interno della meccanica razionale la meccanica newtoniana, la meccanica lagrangiana, la meccanica hamiltoniana che arriva allo studio delle varietà simplettiche e di Poisson.
Storia
La meccanica razionale nasce nel 1788 grazie a Joseph-Louis Lagrange che ne scoprì la dinamica particolare, rigida, elastica e fluida. Poi grazie all'Università di Cambridge nel 1920 si ricostruì e misero insieme più informazioni per arrivare ad una conclusione più plausibile di quella che si creò dalla nascita. Paul Appell nel 1921 pubblicò il primo trattato organico sulla materia, il Traité de mécanique rationnelle in cinque volumi. In Italia, nello stesso periodo, l'argomento fu studiato da T. Levi-Civita e U. Amaldi che nel 1923 pubblicarono le Lezioni di meccanica razionale in due volumi (seguiti da una seconda edizione nel 1950 per i tipi di Zanichelli). A cura di di Herbert Goldestein, Charles Poole, Jhon L. Safko nel 2002 scrissero la terza edizione la Meccanica Classica con 680 pagine e la quarta edizione la Dinamica Analitica con particolarità rigide a Cambridge molto prima, precisamente 43 anni fa, nel 1959. L. Landau e E. Lifšic scrissero la Meccanica in Editori Riuniti nel 1976. A cura di R. Abraham e J. E. Marsden, la seconda edizione della rivista e ampliata Benjamin Cumming Publishing Co. nel 1978. Poi si fecero calcoli esterni a cura di Leonardo Latella.
Bibliografia
- J.-L. Lagrange, Mécanique analytique, Parigi 1788;
- A. G. Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies Teubner, 1904;
- H. Lamb Higher mechanics Cambridge University Press, 1920;
- A. Ziwet e P. Field Introduction to analytical mechanics MacMillan, 1921;
- P. Appell Traité de Mécanique Rationnelle Gauthier-Villars, 1921.
- T. Levi-Civita, U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale, 2ª ed., due vol., Zanichelli 1950; (v. 1 Cinematica e Statica e v. 2 Dinamica, PDF da l'Università di Michigan);
- Herbert Goldstein, Charles Poole, John L. Safko (2002): Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3, pp.680
- E. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, 4ª ed., Cambridge Univ. Press 1959;
- L. Landau e E. Lifsits Meccanica, Editori Riuniti, 1976;
- R. Abraham, J. E. Marsden, Foundations of mechanics, 2ª ed. rivista e ampliata, Benjamin/Cummings Publishing Co. 1978;
- V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, seconda edizione, Graduate Texts in Mathematics 60, Springer-Verlag 1989;
- Giuseppe Arcidiacono Problemi di meccanica razionale, Di Renzo Editore - Roma, 1994.
- J. E. Marsden, T. S. Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems, 2ª ed., Texts in Applied Mathematics 17, Springer-Verlag 1999.
- V. Moretti Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
Voci correlate
- Azione (fisica)
- Calcolo delle variazioni
- Lagrangiana
- Meccanica hamiltoniana
- Meccanica lagrangiana
- Parentesi di Poisson
- Principio di minima azione
- Teoria di Hamilton-Jacobi
- Trasformazione di Legendre
- Trasformazioni canoniche
- Teoria delle piccole oscillazioni
- Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)
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