Funzione intera

In analisi complessa, per funzione analitica intera o, brevemente, per funzione intera si intende una funzione di variabile complessa che è olomorfa in tutti i punti del piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Equivalentemente si definisce funzione intera una funzione di variabile complessa f(z) che per qualche ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ è esprimibile con uno sviluppo in serie di potenze

${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}(z-c)+a_{2}(z-c)^{2}+a_{3}(z-c)^{3}+\cdots }$

convergente per ogni valore complesso della variabile z. In effetti uno sviluppo della forma precedente esiste per ogni ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$.

Evidentemente la somma, la differenza, il prodotto, le derivate e le funzioni di funzioni intere sono funzioni intere.

I più semplici esempi di funzioni intere sono le funzioni polinomiali e la funzione esponenziale.

Anche le funzioni trigonometriche seno e coseno, le funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione logaritmo, la funzione radice quadrata, arcoseno, arcocoseno.

Altre funzioni intere sono:

• le funzioni di Airy;
• la funzione degli errori erf(z) e le sue varianti la funzione complementare della funzione degli errori erfc(z) e la funzione degli errori immaginaria erfi(z);
• la reciproca della funzione Gamma;
• gli integrali di Fresnel;
• la funzione integral seno;
• le funzioni En;
• la funzione G di Barnes.

Si noti che una funzione intera può presentare una singolarità, anche una singolarità essenziale nel punto all'infinito del piano complesso.

Un risultato importante sulle funzioni intere è il teorema di Liouville:

Una funzione intera che è limitata deve ridursi a una costante.

Questo teorema si può usare per ottenere una elegante dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

Un enunciato considerevolmente più stringente del teorema di Liouville è costituito dal piccolo teorema di Picard:

Una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione.

Un esempio della suddetta eccezione si ha con la funzione esponenziale che assume tutti i valori complessi ad eccezione dello 0.

Voci correlate

• Funzione meromorfa