Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento: il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Complemento relativo

 
Il complemento relativo (o la differenza) di A rispetto a B:
 

Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto a B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Esso si indica solitamente come   oppure come  . Formalmente abbiamo:

 

Si noti che l'insieme differenza B - A è un sottoinsieme dell'insieme B.

Esempi

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Proposizioni

Se A, B e C sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

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Complemento assoluto

 
Il complemento assoluto di A:
 

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

 
Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Se è definito un insieme universo U, si definisce complemento assoluto di A come il complemento relativo di A rispetto ad U. Formalmente abbiamo:

 

Il complemento assoluto, indicato anche come ~ A, rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l’insieme universale è l’insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell’insieme dei numeri dispari è l’insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

PROPOSIZIONE 2: Se A e B sono sottoinsiemi di un insieme universo U, allora valgono le seguenti identità:

leggi di De Morgan:
  • (A ∪ B)C  = AC ∩ BC
  • (A ∩ B)C  = AC ∪ BC
Leggi di complementarità:
  • A ∪ AC  =  U
  • A ∩ AC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
  • Se AB, allora BCAC (ciò segue dall’equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale)
Involuzione o legge del doppio complemento:
  • (AC)C  =  A.
Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:
  • A − B = A ∩ BC
  • (A − B)C = AC ∪ B

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A è un sottoinsieme non vuoto di U, allora {A, AC} è una partizione di U.

Voci correlate

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