Equazione di Wheeler-DeWitt

L'equazione di Wheeler-DeWitt è un particolare tipo di equazione differenziale funzionale, che emerge dalla quantizzazione della teoria della relatività generale espressa secondo il formalismo canonico, la cui soluzione reca il suggestivo nome di funzionale d'onda dell'universo.

Formalismo canonico e Wheeler superspace

La teoria della relatività generale assume l'aspetto, nella formulazione hamiltoniana con le variabili ADM, di un sistema dinamico vincolato con vincoli di prima classe. Lo spazio delle configurazioni su cui sono definiti i vincoli è costituito dall'insieme di tutte le possibili trimetriche riemanniane modulo il gruppo dei diffeomorfismi sulle foliazioni ${\displaystyle \Sigma }$  in cui è suddivisa la varietà spaziotemporale ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ :

${\displaystyle \{h_{ij}\}={\frac {Riem(\Sigma )}{Diff(\Sigma )}}}$ 

dove ${\displaystyle h_{ij}}$  rappresenta la trimetrica spaziale indotta sulla foliazione ${\displaystyle \Sigma }$  dalla metrica spaziotemporale ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ .

Le trimetriche risultanti formano uno spazio, detto Wheeler Superspace, infinito dimensionale ma con un numero finito di gradi di libertà in ciascun punto

Quantizzazione della teoria

Per quantizzare un sistema vincolato di prima classe sono percorribili due diverse strade:

1. Procedura di quantizzazione ridotta: i vincoli sono risolti classicamente in modo tale da selezionare a priori i soli stati fisici.
2. Procedura di Dirac: i vincoli sono implementati direttamente a livello quantistico con la promozione delle parentesi di Poisson a commutatori e dei vincoli ad operatori, i quali agendo sugli stati della teoria selezionano quelli fisici. Infatti, uno stato fisico deve rimanere inalterato a seguito delle trasformazioni generate dal vincolo stesso (come tutte le teorie con vincoli di prima classe questi possono essere visti come i generatori delle trasformazioni di simmetria della teoria), pertanto l'operatore ${\displaystyle {\hat {C}}}$ , associato al vincolo classico ${\displaystyle C=0}$ , agendo su uno stato fisico ${\displaystyle |\Psi \rangle }$  deve annichilirlo: ${\displaystyle {\hat {C}}|\Psi \rangle =0}$ .

Anche se formalmente si tratta di procedure equivalenti, esse generalmente producono teorie differenti a causa dei cosiddetti problemi di ordinamento; Inoltre il primo metodo presenta spesso difficoltà significative già con modelli molto semplici.

Seguendo quindi la procedura di Dirac promuoviamo le parentesi di Poisson a commutatori

1. ${\displaystyle [{\hat {h}}_{ij}(x,t),{\hat {h}}_{kl}(x',t)]=0}$ 
2. ${\displaystyle [{\hat {\pi }}^{ij}(x,t),{\hat {\pi }}^{kl}(x',t)]=0}$ 
3. ${\displaystyle [{\hat {h}}_{ij}(x,t),{\hat {\pi }}^{kl}(x',t)]=i\delta _{(i}^{k}\delta _{j)}^{l}\delta ^{3}(x-x')}$ 

dove ${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(x,t)}$  è il momento canonicamente coniugato alla trimetrica.

Osserviamo che:

• la relazione (1) costituisce una sorta di condizione di microcausalità che garantisce che i punti della specifica foliazione ${\displaystyle \Sigma _{t}}$  siano space-like
• la richiesta che l'operatore ${\displaystyle {\hat {h}}_{ij}(x,t)}$  abbia uno spettro positivo non è compatibile con le regole di commutazione. L'operatore ${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(x,t)}$  è infatti autoaggiunto e ciò implica che possa essere rappresentato come operatore unitario, il cui spettro tuttavia prevede anche autovalori negativi, tuttavia, se restringessimo lo spazio di Hilbert ai soli stati su cui ${\displaystyle {\hat {h}}_{ij}(x,t)}$  è definito positivo perderemmo la proprietà di autoaggiunto per l'operatore momento. D'altronde gli autostati con autovalore negativi presentano una difficile interpretazione di carattere fisico.

Promossi quindi i vincoli secondari (superhamiltoniana e supermomento) ad operatori otteniamo:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {\mathcal {H}}}({\hat {h}},{\hat {\pi }})\Psi =0\\{\hat {\mathcal {H}}}_{i}({\hat {h}},{\hat {\pi }})\Psi =0\end{cases}}}$ 

dove ${\displaystyle \Psi }$  è il funzionale d'onda dell'Universo. Assunto che i vincoli primari siano soddisfatti

${\displaystyle {\begin{cases}C(x,t)\equiv \Pi (x,t)=0\\C^{i}(x,t)\equiv \Pi ^{i}(x,t)=0\end{cases}}}$ 

con ${\displaystyle \Pi (x,t),\Pi ^{i}(x,t)}$  i momenti coniugati rispettivamente alla funzione di lapse e al vettore di shift, l'hamiltoniana ADM assume la forma

${\displaystyle H=\int _{\Sigma }d^{3}x(N{\mathcal {H}}+N^{i}{\mathcal {H}}_{i})}$ 

che implica in un'ipotetica equazione di evoluzione tipo Schrödinger

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =0}$ 

l'indipendenza del funzionale d'onda dal tempo. Si tratta del cosiddetto formalismo bloccato: apparentemente il concetto di evoluzione nel tempo non è presente nella teoria quantistica della relatività. Inoltre in virtù dei vincoli primari la ${\displaystyle \Psi }$  risulta essere un funzionale della sola trimetrica

${\displaystyle \Psi =\Psi [h_{ij}]}$ 

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Note