Separazione delle variabili

In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Equazioni differenziali ordinarie

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))}$ 

che ponendo ${\displaystyle y=f(x)}$  assume la forma:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).}$ 

Se ${\displaystyle h(y)\neq 0}$  si possono riordinare i termini:

${\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}}$ 

in modo che le variabili ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  siano separate ognuna in uno dei due membri.

Esempio

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione logistica.

La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ 

dove ${\displaystyle P}$  è la popolazione in funzione del tempo ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle k}$  è il suo tasso di crescita e ${\displaystyle K}$  è la capacità portante dell'ambiente.

Si può utilizzare la eparazione delle variabili:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$ 

${\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}$ 

Per valutare l'integrale a destra si semplifica la frazione:

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}$ 

e quindi la si decompone in frazioni parziali:

${\displaystyle {\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}$ 

Si ha quindi:

${\displaystyle \int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt}$ 

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C}$ 

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C}$ 

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C}$ 

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}}$ 

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}}$ 

Sia ${\displaystyle A=\pm e^{-C}}$ . Allora:

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}}$ 

${\displaystyle {\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}}$ 

${\displaystyle P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$ 

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

${\displaystyle P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$ 

Per trovare ${\displaystyle A}$ , sia ${\displaystyle t=0}$  e ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$ . Si ha:

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$ 

Notando che ${\displaystyle e^{0}=1}$ , risolvendo per ${\displaystyle A}$  si ha:

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}}$ 

Equazioni alle derivate parziali

Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.

Coso omogeneo

Data l'equazione del calore in una dimensione:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$ 

con condizione al contorno:

${\displaystyle u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0}$ 

si cerca di trovare una soluzione non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che ${\displaystyle u}$  è un prodotto in cui la dipendenza di ${\displaystyle u}$  da ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle t}$  è separata, ovvero:

${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}$ 

Sostituendo ${\displaystyle u}$  nell'equazione e usando la regola del prodotto:

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.}$ 

Dato che il membro alla destra dipende solo da ${\displaystyle x}$  e quello alla sinistra solo da ${\displaystyle y}$ , entrambi sono uguali ad una qualche costante ${\displaystyle -\lambda }$ :

${\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t)\qquad X''(x)=-\lambda X(x)}$ 

dove ${\displaystyle -\lambda }$  è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con ${\displaystyle T(t)}$  e ${\displaystyle X(x)}$  le rispettive autofunzioni.

Per mostrare che non vi sono soluzioni per ${\displaystyle X(x)}$  con ${\displaystyle \lambda \leq 0}$ , si supponga che ${\displaystyle \lambda <0}$ . Allora esistono due numeri reali ${\displaystyle B}$  e ${\displaystyle C}$  tali che:

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}}$ 

Utilizzando le condizioni al contorno:

${\displaystyle X(0)=0=X(L)}$ 

e quindi ${\displaystyle B=0=C}$ , che implica che ${\displaystyle u}$  è nulla.

Supponendo ${\displaystyle \lambda =0}$ , infine, allora esistono due numeri reali ${\displaystyle B}$  e ${\displaystyle C}$  tali che:

${\displaystyle X(x)=Bx+C}$ 

Dal fatto che ${\displaystyle X(0)=0=X(L)}$  si conclude in modo analogo a quanto fatto sopra che ${\displaystyle u}$  è nulla.

Quindi, deve essere ${\displaystyle \lambda >0}$ , ed esistono ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  e ${\displaystyle C}$  tali che:

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t},}$ 

e:

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$ 

Ancora dal momento che ${\displaystyle X(0)=0=X(L)}$  si ha ${\displaystyle C=0}$  e che per qualche intero positivo ${\displaystyle n}$  si verifica:

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$ 

Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di ${\displaystyle u}$  ha la forma ${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}$ . In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right)}$ 

dove ${\displaystyle D_{n}}$  sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.

Se la condizione iniziale è:

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$ 

si ottiene:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$ 

che è l'espansione in serie di seni di ${\displaystyle f(x)}$ . Moltiplicando ambo i membri per ${\displaystyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$  e integrando nell'intervallo ${\displaystyle [0,L]}$  si ha:

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx.}$ 

Questo metodo richiede che le autofunzioni di ${\displaystyle x}$ , in tal caso:

${\displaystyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ 

siano ortogonali e complete. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.

Bibliografia

• (EN) A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
• (EN) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5. URL consultato il 29 marzo 2011.
• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, RI, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Collegamenti esterni

• (EN) A.P. Soldatov, Fourier method, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Eric W. Weisstein, Separation of variables, in MathWorld, Wolfram Research.
• Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Examples of separating variables to solve PDEs
• "A Short Justification of Separation of Variables"

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