Anello semplice

In algebra astratta un anello semplice è un anello che ha come unici ideali bilateri l'ideale nullo e se stesso. Il termine semplice indica che l'anello non è scomponibile in anelli più semplici, in quanto non possiede alcun anello quoziente, salvo quelli banali.

Anelli semplici e ideali massimali

Gli ideali massimali sono in stretto rapporto con gli anelli semplici, infatti dato ${\displaystyle A}$  anello:

${\displaystyle I\,\mathrm {massimale} \Leftrightarrow A/I\,\mathrm {semplice} }$ 

Inoltre se ${\displaystyle A}$  anello commutativo unitario abbiamo che il quoziente ${\displaystyle A/I}$  oltre a essere semplice è anche un campo; questo non è più vero in un anello senza unità, ad esempio l'ideale ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$  è massimale in ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ , ma ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$  non è un campo nonostante sia un anello semplice.

Il teorema di Artin-Wedderburn fornisce una caratterizzazione degli anelli semplici artiniani.

Esempi

• L'algebra di Weyl è un anello semplice;
• gli anelli di matrici su anello con divisione sono semplici;

Voci correlate

• Ideale massimale
• Ideale nullo

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