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In matematica, una trasformazione lineare (chiamata anche operatore lineare o mappa lineare) è una funzione tra due spazi vettoriali tale che l'operazione di somma di vettori e moltiplicazione per scalari sia preservata. In altre parole preserva le combinazioni lineari.

Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali.

Definizione e prime conseguenze

Formalmente, se V e W sono spazi vettoriali sullo stesso campo K, si dice che f : V → W è una trasformazione lineare se per ogni due vettori x e y in V e per ogni scalare a in K, si ha

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,}$  (addittività)

${\displaystyle f(ax)=af(x)\,}$                (omogeneità).

Questo è equivalente al dire che f   "preserva le combinazioni lineari", ovvero per un insieme finito di vettori x₁, ..., x_m e scalari a₁, ..., a_m, si ha :${\displaystyle f(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}f(x_{1})+\cdots +a_{m}f(x_{m}).}$ 

Occasionalmente, V e W possono essere considerati come spazi vettoriali su differenti campi, ed è importante speficicare quale campo è stato utilizzato nella definizione di "lineare". Se V e W sono considerati come spazi sul campo K come sopra, si parla di mappe K-lineari. Per esempio la coniugazione di numeri complessi è una mappa R-lineare C → C, ma non è C-lineare.

Esempi

• La moltiplicazione per una costante è una trasformazione lineare da R a R.

• Se A è una matrice m × n, allora A definisce una trasformazione lineare da Rⁿ a R^m mandando il vettore colonna x ∈ Rⁿ nel vettore colonna Ax ∈ R^m. Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali finito-dimensionale è di questo tipo. Si veda la sezione seguente.

• L'integrale è una mappa lineare dallo spazio delle funzioni a valori reali integrabili in qualche intervallo di R

• La derivata è una mappa lineare dallo spazio di tutte le funzioni differenziabili nello spazio di tutte le funzioni.

• Se V e W sono spazi vettoriali finito-dimensionali sul campo F, allora funzioni che portano trasformazioni lineari f:V → W in matricidim_F(W)-per-dim_F(V) nella maniera descritta nel seguito sono esse stesse trasformazioni lineari.

Matrici

Se V e W sono finito-dimensionali e una base è stata scelta, allora ogni trasformazione lineare da V a W può essere rappresentata come una matrice; questo è utile in quanto permette i calcoli numerici. Conversamente le matrici sono esempi di trasformazioni lineari : se A è una matrice reale m-per-n, allora la regola f(x) = Ax descrive una trasformazione lineare Rⁿ → R^m.

Sia ${\displaystyle \{v_{1},\cdots ,v_{n}\}}$  una base per V. Allora ogni vettore v in V è unicamente determinate dai coefficienti ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{n}}$  in

${\displaystyle c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}.}$ 

Se f : V → W è una trasformazione lineare,

${\displaystyle f(c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n})=c_{1}f(v_{1})+\cdots +c_{n}f(v_{n}),}$ 

che implica che la funzione f è interamente determinata dai valori di ${\displaystyle f(v_{1}),\cdots ,f(v_{n}).}$ 

Sia dunque ${\displaystyle \{w_{1},\cdots ,w_{m}\}}$  una base per W. Allora possiamo rappresentare i valori di ogni ${\displaystyle f(v_{j})}$  come

${\displaystyle f(v_{j})=a_{1j}w_{1}+\cdots +a_{mj}w_{m}.}$ 

Quindi la funzione f è interamente determinata dai valori di ${\displaystyle a_{i,j}}$ .

Se inseriamo questi valori in una matrice m-per-n M possiamo convenientemente usarla per calcolare il valore di f per ogni valore in V. Infatti se utilizziamo i valori di ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{n}}$  in una matrice n-per-1 C, si ha MC = f(v).

Si noti che possono esserci diverse matrici rappresentanti una singola trasformazione lineare. Questo perchè i valori degli elementi della matrice dipendono dalla base scelta. Similarmente, data una matrice, abbiamo bisogno di sapere che base è utilizzata per determinare che trasfomazione lineare rappresenta.

Creare nuove trasformazioni lineari da trasformazioni date

La composizione di trasformazioni lineari è lineare: se f : V → W e g : W → Z sono lineari, allora lo è anche g o f : V → Z.

Se f₁ : V → W e f₂ : V → W sono lineari, allora lo è la loro somma: f₁ + f₂ (che è definita come (f₁ + f₂)(x) = f₁(x) + f₂(x)).

Se f : V → W è lineare e a è un elemento del campo K, allora la mappa af, definita da (af)(x) = a (f(x)), è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale e se una base è stata scelta la composizione di mappe lineari corrisponde alla moltiplicazione di matrici, la somma di mappe lineari corrisponde alla somma di matrici e la moltiplicazione di mappe lineari per scalari corrisponde alla moltiplicazione di matrici con scalari.

Endomorfismi e automorfismi

Una trasformazione lineare f : V → V è un endomorfismo di V; l'insieme di tutti gli endomorfismi End(V) insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con elemento identità sul campo K ( in particolare formano un anello). L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità I : V → V.

Un endomorfismo biiettivo di V viene chiamato automorfismo di V; la composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di V forma un gruppo, il gruppo degli automorfismi di V, chiamato Aut(V) o GL(V).

Se V ha dimensione finita n, allora End(V) è isomorfo alla algebra associativa di tutte le matrici n per n a valori in K. Il gruppo degli automorfismi di V è isomorfo al gruppo lineare generale GL(n, K) di tutte le matrici n per n invertibili a valori in K.

Nucleo e immagine

Se f : V → W è lineare, si definisce il nucleo (in inglese kernel) e l' immagine di f come

${\displaystyle \ker(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}}$ 

${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{\,f(x):x\in V\,\}}$ 

ker(f) è un sottospazio di V e im(f) è un sottospazio di W. La seguente formula dimensionale è spesso utile (si noti però che si applica solo nel caso finito dimensionale):

${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V)\,}$ 

Vedi anche

• Matrice di trasformazione
• wikibooks:Algebra:Linear transformations