Versore

In matematica, un versore è un vettore unitario in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore $\mathbf {v}$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

{\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}

Esempi

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

i versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

${\hat {\imath }},\ {\hat {\jmath }},\ {\hat {k}}$
$\mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}$
$\mathbf {e} _{1},\ \mathbf {e} _{2},\ \mathbf {e} _{3}$
${\hat {\mathbf {x} }},\ {\hat {\mathbf {y} }},\ {\hat {\mathbf {z} }}$
$\mathbf {x} _{0},\ \mathbf {y} _{0},\ \mathbf {z} _{0}$
${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.
i versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:

${\hat {r}},\ {\hat {\theta }}$
${\hat {\mathbf {r} }},\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}$
$\mathbf {e} _{r},\ \mathbf {e} _{\theta }$
$\mathbf {r} _{0},\ {\boldsymbol {\theta }}_{0}$

Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano con:

${\hat {t}},\ {\hat {n}}$
${\hat {\mathbf {t} }},\ {\hat {\mathbf {n} }}$
$\mathbf {e} _{t},\ \mathbf {e} _{n}$

Derivata di un versore

Sia ${\hat {\mathbf {v} }}(t)$ un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=\left|{\hat {\mathbf {v} }}\right|^{2}

ricordando che i versori hanno modulo unitario:

{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=1

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

{\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}+{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}'=0

Data la commutatività del prodotto scalare

2\left({\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}\right)=0

{\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=0

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di ${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}$ , si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.