Modellazione della turbolenza

La modellazione della turbolenza è la rappresentazione, attraverso un modello matematico, degli effetti della turbolenza sulla fluido dinamica di un flusso. La necessità di questi modelli è legata alla non chiusura delle equazioni di Navier-Stokes, quando esse vengono scritte applicando la media di Reynolds. I flussi turbolenti rappresentano la maggior parte dei flussi presenti nel mondo reale (ad esempio il flusso dell'aria su un'ala d'aereo ^[1], come il flusso del sangue all'interno del sistema cardiovascolare ^[2]). La ricerca in questo ambito ha subito una accelerazione dagli anni '60, con lo sviluppo del trasporto aereo commerciale e l'incremento nella disponibilità di potenza computazionale^[3]. Dato l'interesse e la non esistenza di una soluzione analitica per flussi turbolenti (eccetto che per i casi più semplici), l'evoluzione di metodi simulativi per prevederne il comportamento ha richiesto lo sviluppo parallelo di modelli di turbolenza più avanzati. In particolare, si è passati da modelli basati su assunzioni sulle caratteristiche della turbolenza stessa (come i modelli basati sulla lunghezza di miscelazione) a modelli a una equazione (come lo Spalart-Allmaras) e infine a modelli a due equazioni e l'RSM.

Il problema della chiusura

Le equazioni fondamentali della fluido dinamica sono rappresentate nel set delle equazioni di Navier-Stokes. La risoluzione di questo set di equazioni permette di prevedere il comportamento di un flusso, dal punto di vista cinematico e termodinamico. Vista la natura intrinsecamente tridimensionale, tempo dipendente e randomica della turbolenza ^[4], diversi approcci statistici sono stati sviluppati per catturarne gli effetti sul flusso medio. Per catturare questa caratteristica dei flussi turbolenti, ogni quantità del flusso può essere scritta come somma della media e della fluttuazione del campo stesso. Le equazioni ottenute mediando le Navier-Stokes riscritte utilizzando questa decomposizione sono chiamate Reynolds-Averaged Navier Stokes (RANS) equations. Questa procedura di media presenta diverse proprietà, e in particolare quando essa viene applicata al prodotto di componenti medie e fluttuanti risulta che:

• La media di una componente fluttuante è nulla:

${\displaystyle {\overline {\phi '}}=0}$ 

• La media del prodotto di una componente media e di una fluttuante è nulla:

${\displaystyle {\overline {\phi '\phi }}={\overline {\phi '}}{\overline {\phi }}=0}$ 

• La media del prodotto di 2 componenti fluttuanti è diversa da zero:

${\displaystyle {\overline {\phi '\phi '}}\neq 0}$ 

In particolare questa ultima proprietà del processo di media applicata alle equazioni della conservazione della quantità di moto e dell'energia porta all'emergere di componenti che non possono essere determinate analiticamente, ma che richiedono di una trattazione modellistica. Per l'equazione della quantità di moto (considerando le proprietà del fluido come costanti):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho {\textbf {U}}}{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {U}}{\textbf {U}})=\rho {\textbf {g}}-\nabla P+\mu \nabla ^{2}{\textbf {U}}+{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot {\textbf {U}}\right)}$ 

E guardando in particolare alla media del termine convettivo:

${\displaystyle {\overline {\nabla \cdot \rho \left({\overline {\textbf {U}}}+{\textbf {u'}}\right)\otimes \left({\overline {\textbf {U}}}+{\textbf {u'}}\right)}}}$ 

Che sviluppando il prodotto tra i termini, può essere scritto come:

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho {\overline {\textbf {U}}}\otimes {\overline {\textbf {U}}}\right)+\nabla \cdot \left(\rho {\overline {{\textbf {u'}}\otimes {\textbf {u'}}}}\right)}$ 

Il secondo termine rappresenta gli stress di Reynolds. Fisicamente, questi stress rappresentano l'effetto del trasporto turbolento sul flusso, come aumento della diffusività e della miscelazione all'interno di flussi turbolenti. Svolgendo il prodotto si può osservare che il tensore degli stress di Reynolds può essere scritto come una componente simmetrica e una deviatorica:

${\displaystyle {\overline {\overline {r}}}=-\rho {\begin{bmatrix}{\overline {u^{2}}}&{\overline {uv}}&{\overline {uw}}\\{\overline {vu}}&{\overline {v^{2}}}&{\overline {vw}}\\{\overline {wu}}&{\overline {wv}}&{\overline {w^{2}}}\end{bmatrix}}}$ 

Dove la componente simmetrica può essere scritta come: ${\displaystyle tr({\overline {\overline {r}}})=-\rho ({\overline {u^{2}}}+{\overline {v^{2}}}+{\overline {w^{2}}})=-2\rho k}$ 

Dove ${\displaystyle k}$  rappresenta la energia cinetica turbolenta. La necessità di trovare un modello per il tensore degli stress di Reynolds dà origine al problema della chiusura.

Viscosità turbolenta

Un primo approccio per trovare una chiusura al set delle RANS fu quello proposto da Joseph Valentin Boussinesq^[5], introducendo l'idea della viscosità turbolenta (eddy viscosity). Boussinesq propose di modellare la componente deviatorica (${\displaystyle {\overline {\overline {a}}}}$ ) del tensore degli stress di Reynolds in analogia con la legge di sforzo/deformazione di Newton:

${\displaystyle {\overline {\overline {a}}}={\overline {\overline {r}}}+\rho {\frac {2}{3}}k=-2\mu _{t}{\overline {D_{ij}}}}$ 

Dove ${\displaystyle {\overline {D_{ij}}}}$  rappresenta il tensore delle deformazioni medie. Specificando un valore per la viscosità turbolenta ${\displaystyle \mu _{t}}$ , il problema risulta chiuso. Questo modello risulta applicabile per casi in cui una componente del gradiente di velocità risulta dominante, come nel caso di strati limite turbolenti, getti, o scie. In questi casi infatti una singola componente della velocità risulta dominante, e il termine preponderante nel tensore degli stress di Reynolds risulta essere quello dovuto al gradiente di velocità trasversale. La assunzione di Boussinesq si riduce allora a: ${\displaystyle -\rho {\overline {uv}}=\mu _{t}{\frac {\partial U}{\partial y}}}$ 

Lunghezza di miscelazione

Successivamente a Boussinesq, Taylor (1915) e successivamente Prandtl (1925)^[6] introdussero il concetto di lunghezza di miscelazione (mixing length). Questa idea nasce dall'appllicazione del modello di Boussinesq allo strato limite. Considerando ancora un flusso quasi monodimensionale, in presenza di un gradiente di velocità trasversale (${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial y}}}$ ), il tensore degli stress di Reynolds può essere scritto come:

${\displaystyle -\rho {\overline {uv}}=\mu _{t}{\frac {\partial U}{\partial y}}\propto l_{t}u_{t}{\frac {\partial U}{\partial y}}}$ 

Dove ${\displaystyle \mu _{t}}$  è stato scritto come il prodotto di una lunghezza ${\displaystyle l_{t}}$  chiamata lunghezza di miscelazione e della ${\displaystyle u_{t}}$ , la perturbazione di velocità prodotta dal vortice. La lunghezza di miscelazione rappresenta quindi la massima distanza di influenza del vortice stesso. Se consideriamo il gradiente normale di velocità e questa distanza, è possibile scrivere la ${\displaystyle u_{t}}$  come funzione della ${\displaystyle l_{t}}$ . Sostituendo, si può quindi trovare che:

${\displaystyle -\rho {\overline {uv}}\propto l_{t}^{2}({\frac {\partial U}{\partial y}})^{2}}$ 

Riducendo il problema alla modellazione della lunghezza di miscelazione. Questo termine risulta più facile da stimare rispetto alla viscosità turbolenta. Su questo modello si basa la legge di parete che descrive il comportamento della velocità per flussi vicino alla parete, in condizioni in assenza (o con ridotti) gradienti di pressione.

Estensioni del modello

Smargorinsky propose (1963)^[7] di estendere il concetto di lunghezza di miscelazione per flussi generici, esprimendo la viscosità turbolenta come funzione del tensore delle deformazioni medie:

${\displaystyle {\frac {\mu _{t}}{\rho }}=l_{t}^{2}{\sqrt {2{\overline {D}}:{\overline {D}}}}}$ 

Baldwin e Lomax (1978) ^[8] proposero una espressione simile, utilizzando il tensore delle rotazioni medio invece del tensore delle deformazioni:

${\displaystyle {\frac {\mu _{t}}{\rho }}=l_{t}^{2}{\sqrt {2{\overline {R}}:{\overline {R}}}}}$ 

Entrambi i modelli rimangono incompleti, vista la necessità di specificare la lunghezza di miscelazione ${\displaystyle l_{t}}$ .

Modelli a una equazione: modello di Prandtl

Con l'obiettivo di sviluppare modelli più generici, Prandtl propose (1945) di legare direttamente la viscosità turbolenta all'energia cinetica turbolenta:

${\displaystyle \mu _{t}=c'l_{t}{\sqrt {k}}}$ 

Per valutare ${\displaystyle k}$ , una equazione di bilancio può essere formulata:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial k}{\partial t}}+\rho {\overline {\textbf {V}}}\cdot \nabla k={\overline {\overline {r}}}:\nabla {\overline {\textbf {V}}}-2\mu {\overline {({\overline {d}}:{\overline {d}})}}+\nabla \cdot ({\overline {-P'{\textbf {v}}}}+\mu \nabla k-{\frac {1}{2}}{\overline {v^{2}{\textbf {v}}}})}$ 

Questa equazione contiene i termini di produzione dell'energia cinetica dal flusso medio:

${\displaystyle {\overline {\overline {r}}}:\nabla {\overline {\textbf {V}}}}$ 

e gli effetti di dissipazione dovuti alla viscosità:

${\displaystyle 2\mu {\overline {({\overline {d}}:{\overline {d}})}}}$ 

dove ${\displaystyle {\overline {\overline {d}}}={\frac {1}{2}}(\nabla {\textbf {v}}+\nabla {\textbf {v}}^{T})}$  è il tensore delle deformazioni.

L'ultimo termine rappresenta il trasporto della energia cinetica turbolenta per diffusione, trasporto turbolento e per il termine di pressione. Questo termine, come il termine di dissipazione devono essere modellati in questa equazione. Da analisi dimensionali: ${\displaystyle \epsilon =2\mu {\overline {({\overline {d}}:{\overline {d}})}}\cong C_{D}{\frac {k^{\frac {3}{2}}}{l_{t}}}}$ 

Per il termine dissipativo, mentre per il termine di trasporto:

${\displaystyle -P'{\textbf {v}}-{\frac {1}{2}}{\overline {v^{2}{\textbf {v}}}}\cong {\frac {\mu _{t}}{\sigma _{k}}}\nabla k}$ 

Per chiudere questo sistema, un modello ulteriore è necessario per la valutazione della lunghezza di miscelazione turbolenta (ad esempio il modello di Van Driest).

Modelli a una equazione: Spalart-Allmaras

Vista la necessità di utilizzare comunque un modello per la lunghezza di miscelazione, Spalart-Allmaras (1994) ^[9] propose una equazione di bilancio per la viscosità turbolenta, nella forma:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mu _{t}}{\partial t}}+\rho {\overline {\textbf {V}}}\cdot \nabla \mu _{t}=\nabla \cdot (\mu _{t}\nabla \mu _{t})+S}$ 

Dove ${\displaystyle S}$  è un termine sorgente, dipendente dalla viscosità molecolare e da quella turbolenta, come dalla vorticità media e dalla distanza dalla parete. Questo modello ha una lunga storia di applicazioni nel mondo aeronautico, in applicazioni transoniche e supersoniche.

I modelli a due equazioni

Questa classe di modelli di turbolenza si propone di valutare la lunghezza di miscelazione e la viscosità turbolenta a partire da due parametri: la energia cinetica turbolenta e la sua velocità di dissipazione (${\displaystyle \epsilon }$ ).

Modello ${\displaystyle k-\epsilon }$ 

Jones e Launder (1972) ^[10] introducono con il modello ${\displaystyle k-\epsilon }$  una seconda equazione di trasporto per la velocità di dissipazione dell'energia cinetica turbolenta ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon }{\partial t}}+{\overline {\textbf {V}}}\cdot \nabla \epsilon =C_{\epsilon 1}{\frac {\epsilon }{k}}{\overline {\overline {r}}}:\nabla {\overline {\textbf {V}}}-C_{\epsilon 2}{\frac {\epsilon ^{2}}{k}}+\nabla \cdot (({\frac {\mu }{\rho }}+{\frac {\mu _{t}}{\rho \sigma _{\epsilon }}})\nabla \epsilon )}$ 

I termini di produzione (primo termine a destra dell'uguale), dissipazione e trasporto di ${\displaystyle \epsilon }$  richiedono la specificazione di costanti di calibrazione, che possono essere tarate a partire di dati sperimentali. In questa formulazione del modello, il termine dissipativo risulta essere problematico, in quanto all'avvicinarsi alla parete il valore di ${\displaystyle k}$  tende a zero, portando a un termine dissipativo singolare. L'applicazione di questo modello richiede dunque un trattamento speciale a parete, e il valore di ${\displaystyle y+}$  delle celle a parete risulta critico.

Modello ${\displaystyle k-\omega }$ 

Per evitare il problema della singolarità a parete, Wilcox (1988) ^[11] propose il modello ${\displaystyle k-\omega }$ , dove la seconda equazione di trasporto è scritta per ${\displaystyle \omega }$ , la frequenza caratteristica dei vortici:

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{t_{T}}}={\frac {\epsilon }{k}}}$ 

L'equazione per ${\displaystyle \omega }$  sarà quindi:

${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial t}}+{\overline {\textbf {V}}}\cdot \omega =C_{\omega 1}{\frac {\omega }{k}}{\overline {\overline {r}}}:\nabla {\overline {\textbf {V}}}-C_{\omega 2}\omega ^{2}+{\frac {\mu _{t}}{\rho \sigma _{\epsilon }}})\nabla \omega )}$ 

Anche in questo caso, i termini a destra dell'uguale rappresentano la produzione, dissipazione e trasporto della frequenza dei vortici. In questa equazione, il termine dissipativo non risulta singolare a parete, permettendo la risoluzione dello strato limite. Questo rende il modello più adatto all'utilizzo nel caso di gradienti avversi di pressione e separazioni dello strato limite.

Modello ${\displaystyle k-\omega SST}$ 

Per combinare i vantaggi di questi due modelli, Menter (1994) ^[12] propose una versione modificata del modello ${\displaystyle k-\omega }$ , che combina le equazioni di ${\displaystyle \omega }$  ed ${\displaystyle \epsilon }$ , con un fattore moltiplicativo che se nullo, rende l'equazione identica a quella di <\omega>. Questo fattore di blending, rende quindi il modello SST simile al modello ${\displaystyle k-\omega }$  vicino a parete, mentre lontano dalla parete, esso si comporta come il ${\displaystyle k-\epsilon }$ . Questo modello è largamente utilizzato nell'industria, in particolare nell'ambito turbomacchine.

Reynolds stress model (RSM)

Questa classe di modelli non è basata sulla ipotesi di Boussinesq, e la chiusura del problema è effettuata risolvendo il tensore degli stress di Reynolds completo. L'assenza dell'ipotesi di isotropia della turbolenza significa che gli effetti di direzionalità della turbolenza potranno essere catturati, al costo di un maggiore carico computazionale rispetto a modelli a una/due equazioni. La riduzione di risorse richieste rispetto a simulazioni LES (Large Eddy Simulation) o DNS (Direct Numerical Simulation) pone questi modelli a un punto intermedio rispetto ai modelli classici a due equazioni.

Note

1. ^ C Rhie, Numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation (PDF), in AIAA Journal, 1983.
2. ^ Ahmed Sallam, Human red blood cell hemolysis in a turbulent shear flow: contribution of Reynolds shear stresses, in Biorheology, 1984.
3. ^ Computational Fluid Dynamics Past, Present and Future (PDF), su aero-comlab.stanford.edu, Department of Aeronautics & Astronautics - Stanford University.
4. ^ Turbulent flows, Cambridge University Press, 2000, ISBN 9780511840531.
5. ^ Joseph Boussinesq, Boussinesq, J. (1903). Théorie analytique de la chaleur mise en harmonie avec la thermodynamique et la théorie mécanique de la lumière, Gauthier-Villars, 1903.
6. ^ Prandtl, Bericht uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz, in Zs. angew. Math. Mech., vol. 2, 1925.
7. ^ Joseph Smagorinsky, <0099:GCEWTP>2.3.CO;2 General Circulation Experiments with the Primitive Equations, in Monthly Weather Review, vol. 91, n. 3, March 1963, pp. 99–164, DOI:10.1175/1520-0493(1963)091<0099:GCEWTP>2.3.CO;2.
8. ^ B.S. Baldwin, Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separated Turbulent Flows, in AIAA Paper, 1978.
9. ^ P.R. Spalart, A One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows, in Recherche Aerospatiale, No. 1, 1994, pp. 5-21.
10. ^ W.P. Jones, The Prediction of Laminarization with a Two-Equation Model of Turbulence, in International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 15, 1972, pp. 301-314.
11. ^ D.C. Wilcox, Re-assessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models, in AIAA Journal, vol. 26, no. 11, 1988, pp. 1299-1310.
12. ^ F.R. Menter, Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Applications, in AIAA Journal, vol. 32, no 8., 1994, pp. 1598-1605.

Bibliografia

• Wilcox, "Turbulence Modeling for CFD", DWC Industries, INC., 2006
• Pope, "Turbulent Flows", Cambridge University Press, 2000
• Kundu, Cohen Dowling, "Fluid Mechanics", Academic Press, 2011

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