Teoria f(R)

La teoria f(R) racchiude un insieme di teorie sulla gravitazione modificate estendendo la relatività generale, in modo da spiegare l'accelerazione dell'espansione dell'universo senza l'ipotesi dell'energia oscura.

La prima versione di queste teorie fu proposta nel 1970 da Buchdahl. Esse sono divenute un importante campo di ricerca a partire dall'opera di Hagen Kleinert e di Brian Schmidt, manifestando una serie di problemi irrisolti.

Introduzione

Una teoria della gravitazione tipo f(R) tenta di generalizzare la lagrangiana di un'azione di Einstein-Hilbert:

${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ , alla forma:

${\displaystyle S[g]=\int {1 \over 2\kappa }f(R){\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ,

dove:

${\displaystyle \kappa \equiv 8\pi G}$ ,
${\displaystyle g}$  è il determinante del tensore metrico ${\displaystyle g\equiv |g_{\mu \nu }|}$ , e
${\displaystyle f(R)}$  è una qualunque funzione dello Scalare di Ricci.

Metrica di una gravità tipo f(R)

Derivazione dell'equazione di campo

In una teoria della gravitazione tipo f(R), le equazioni di campo sono dedotte in funzione di una metrica quale variabile indipendente, tenendo costante (non trattando) la connessione.

L'azione segue le principali variazioni di un'azione di Einstein-Hilbert, con alcune importanti differenze.

Il determinante della variazione è al solito:

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }}$ .

Lo Scalare di Ricci è definito come:

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}$ 

Perciò, la sua variazione rispetto alla metrica inversa :${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.}$ , è data da:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }(\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho })\end{aligned}}}$ 

Dato che ${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$  è la differenza fra le due connessioni, questa deve essere esprimibile nella seguente forma tensoriale:

${\displaystyle \delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right)}$ 

Sostituendo nell'equazione precedente, si ha:

${\displaystyle \delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }}$ ,

dove:

${\displaystyle \nabla _{\mu }}$  è la derivata covariante,

${\displaystyle \Box }$  è un operatore di d'Alembert, definito come ${\displaystyle \Box =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$ .

Perciò, la variazione nell'azione diventa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {1 \over 2\kappa }\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {1 \over 2\kappa }\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {1 \over 2\kappa }{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$ ,

dove ${\displaystyle F(R)={\frac {\partial f(R)}{\partial R}}}$ .

Integrando per parti il secondo e terzo termine, otteniamo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {1 \over 2\kappa }{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$ 

Imponendo che l'azione sia invariante rispetto alla metrica, vale a dire imponendo:

${\displaystyle \delta S[g]=0}$ ,

si ottengono le equazioni di campo:

${\displaystyle F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}f(R)g_{\mu \nu }+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu }}$ ,

dove:

${\displaystyle T_{\mu \nu }}$  è il Tensore energia impulso definito come ${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}L_{m})}{\delta g^{\mu \nu }}}}$ , con ${\displaystyle L_{m}}$  lagrangina della massa.

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