Urto anelastico

L'urto anelastico^[1] a differenza da un urto elastico è un urto in cui non si conserva l'energia a causa dell'attrito interno. Nel caso poi sia completamente anelastico, i corpi, dopo la collisione, restano a contatto e possono essere considerati come un unico corpo ed essi viaggiano con la stessa velocità, come può essere il caso di un'automobile che urta contro un camion e rimane incastrata in esso: nel sistema, dopo l'urto, automobile e camion si fondono in un unico corpo, che continua a viaggiare con una velocità ${\displaystyle V\;}$ diversa dalla velocità iniziale dell'automobile e da quella del camion, ma pari a quella del centro di massa comune.

Fotografia stroboscopica del rimbalzo di una palla. Ogni urto è anelastico, cioè l'energia viene dissipata in ogni urto. Se si ignora l' attrito viscoso dell'aria, la radice quadrata del rapporto tra le altezze di due rimbalzi successivi è il coefficiente di restituzione della collisione palla-superficie.

Urto anelastico nel sistema di riferimento del centro di massa

L'urto in genere rimane particolarmente semplice se studiato nel sistema di riferimento del centro di massa, in tale sistema di riferimento le quantità di moto dei due oggetti che si urtano appaiono eguali e contrarie sia prima che dopo l'urto. Il sistema di riferimento inerziale in cui si osserva da fuori l'urto è chiamato sistema di laboratorio. Indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza apici quelle di laboratorio. Le forze esterne se presenti, a meno che non siano impulsive, possono trascurarsi durante l'urto e quindi il sistema di riferimento del centro di massa è un sistema di riferimento inerziale.

La quantità di moto del primo corpo prima dell'urto è ${\displaystyle {\vec {p}}'_{10}}$  e diviene dopo l'urto ${\displaystyle {\vec {p}}'_{1f}=-e{\vec {p}}'_{10}}$ . La grandezza adimensionale introdotta ${\displaystyle 0\leq e\leq 1}$  viene chiamato coefficiente di restituzione e vale 0 per un'urto completamente anelastico (in realtà anche l'urto elastico è compreso nell'analisi se e=1). Il coefficiente di restituzione anche per la seconda particella. Dalla definizione data avremo che:

${\displaystyle {\vec {v}}'_{1f}=-e{\vec {v}}'_{10}\qquad e\qquad {\vec {v}}'_{2f}=-e{\vec {v}}'_{20}}$ 

Cioè nel sistema del centro di massa le velocità di ciascun corpo conservano la direzione, ma cambiano il verso.

L'energia cinetica dopo l'urto:

${\displaystyle E'_{kf}={\frac {1}{2}}m_{1}{v'^{2}}_{1f}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v'^{2}}_{2f}=e^{2}\left({\frac {1}{2}}m_{1}{v'^{2}}_{10}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v'^{2}}_{20}\right)=e^{2}E'_{k0}}$ 

L'unica energia che viene dissipata è quella del sistema di riferimento del centro di massa. L'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa non viene dissipata.

In molti sport in cui si lanciano delle palle viene regolamentato il valore del coefficiente di restituzione; ad esempio nel golf il coefficiente di restituzione tra il bastone e la pallina deve essere inferiore a 0.83.

Caso unidimensionale

La velocità del centro di massa nel sistema di laboratorio è:

${\displaystyle v_{c}={\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}}$ 

Ritornando dal sistema del centro di massa a quello di laboratorio:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1f}&=v_{1f}^{'}+v_{c}=-ev_{10}^{'}+v_{c}=-e(v_{10}-v_{c})+v_{c}=-ev_{10}+(1+e)v_{c}=\\&=-ev_{10}+(1+e){\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {(m_{1}-em_{2})v_{10}+(1+e)m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}\ }$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{2f}&=v_{2f}^{'}+v_{c}=-ev_{20}^{'}+v_{c}=-e(v_{20}-v_{c})+v_{c}=-ev_{20}+(1+e)v_{c}=\\&=-ev_{20}+(1+e){\frac {m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {(m_{2}-em_{1})v_{20}+(1+e)m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$ 

Quindi siamo in grado nel caso unidimensionale di determinare la velocità finale dei due corpi dopo l'urto.

 

Animazione di un urto completamente anelastico

Vale la pena di considerare i due casi limite:

• ${\displaystyle e=0}$  (urto completamente anelastico), dopo l'urto i due corpi procedono con la velocità del centro di massa, come appare nella animazione:

${\displaystyle v_{1f}=v_{2f}={\frac {m_{2}v_{20}+m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}=v_{c}\ }$ 

• ${\displaystyle e=1}$  (urto elastico)

${\displaystyle v_{1f}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{10}+2m_{2}v_{20}}{m_{1}+m_{2}}}\ }$ 

${\displaystyle v_{2f}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{20}+2m_{1}v_{10}}{m_{1}+m_{2}}}\ }$ 

Note

1. ^ P. Mazzoldi, N. Nigro e C. Voci, FIsica Volume 1, 2ª ed., Napoli, EdiSes Wiley, 2003, ISBN 88-7959-137-1.

Bibliografia

• Ettore Minguzzi; Sabrina Rossi, Principi di conservazione, Alpha Test, 2004, ISBN 88-483-0309-9.
• Giuseppe Dalba, La cinematica degli urti (PDF), Università degli Studi di Trento.

Voci correlate

• Urto elastico
• Urto

Collegamenti esterni

• (EN) inelastic collision, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  

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