Forma indeterminata

Nella matematica, e in particolare nel calcolo infinitesimale, le scritture

${\displaystyle 0/0\qquad \infty /\infty >0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad \infty -\infty }$

individuano le cosiddette forme indeterminate. Se f(x) e g(x) si avvicinano entrambi a 0 quando x si avvicina a qualche numero, o x tende all'∞, a +∞ o a −∞, allora può accadere che

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}}$

si avvicini a un qualsiasi numero reale, a +∞ o a −∞, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla retta reale (estesa); il comportamento del rapporto dipende dalle caratteristiche delle funzioni f e g. Osservazioni simili valgono per le altre forme indeterminate indicate in precedenza. Per la prima forma, ad esempio,

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\sin(x) \over x}=1}$ ,

mentre

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 49}{x-49 \over {\sqrt {x}}\,-7}=14}$ .

La sostituzione diretta delle funzioni a numeratore e a denominatore con i corrispondenti limiti per entrambe i precedenti rapporti porta alla forma indeterminata 0/0, mentre i limiti di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a 1 e 14 rispettivamente.

Per altri rapporti che conducono alla forma indeterminata il limite non esiste.

In molti casi, qualche semplificazione algebrica, la regola di de L'Hôpital, o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.

Circolarità logica

Se si utilizza la regola di de L'Hopital per valutare limiti come

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(x+h)^{n}-x^{n} \over h}}$ 

si incorre in una circolarità logica.

Se si usa la valutazione del limite precedente allo scopo di dimostrare che (d/dx) xⁿ = nxⁿ⁻¹ e si usa la regola di de L'Hopital e il fatto che (d/dx) xⁿ = nxⁿ⁻¹ nella valutazione del limite, allora si effettua un ragionamento circolare che potrebbe risultare fallace.