Sommersione

In matematica una sommersione è una mappa tra varietà differenziali il cui differenziale è suriettivo. La nozione di sommersione è duale a quella di Immersione (geometria).^[1]

Definizione

Siano ${\displaystyle M}$  ed ${\displaystyle N}$  due varietà differenziali, di dimensione ${\displaystyle m,n}$  rispettivamente con ${\displaystyle m\geq n}$ . La funzione differenziabile ${\displaystyle f:M\to N}$  è una sommersione nel punto ${\displaystyle p\in M}$  se il suo differenziale

${\displaystyle Df_{p}:T_{p}M\to T_{f(p)}N}$ 

è suriettivo.

Se la funzione ${\displaystyle f}$  è una sommersione in ogni punto ${\displaystyle p\in U\subseteq N}$  per qualche insieme ${\displaystyle U}$ , allora si dice che ${\displaystyle f}$  è una sommersione in ${\displaystyle U}$ , o anche che ${\displaystyle f}$  è sommersiva.

Equivalentemente, possiamo affermare che ${\displaystyle f}$  è sommersiva in ${\displaystyle p}$  se il differenziale ${\displaystyle Df_{p}}$  ha rango massimo ${\displaystyle n}$ .

Esempi

• La proiezione naturale ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$  dove ${\displaystyle m\geq n}$  definita come ${\displaystyle \pi (x_{1},\dots ,x_{m})=(x_{1},\dots ,x_{n})}$  è una sommersione
• Una funzione scalare ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$  è sommersiva in ${\displaystyle p\in A}$  se e solo se ${\displaystyle \nabla f(x_{0})\neq 0}$ 
• Un diffeomorfismo locale è una sommersione (e anche un'immersione)

Voci correlate

• Immersione (geometria)

Note

1. ^ M. Abate, F. Tovena, Geometria differenziale, Springer, 2011.

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