Estensione normale

In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione ${\displaystyle \mathbb {E} }$ di un campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ si dice normale se è il campo di spezzamento di una famiglia di polinomi di ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$.

Proprietà ed esempi

Perché un'estensione sia normale, è sufficiente che sia il campo di spezzamento di un polinomio. Tuttavia, se un'estensione di ${\displaystyle \mathbb {F} }$  è normale e contiene una radice di un polinomio ${\displaystyle f}$  irriducibile su ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$ , allora ne è il campo di spezzamento.

Inoltre, è possibile dare una caratterizzazione equivalente delle estensioni normali:

• Sia ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}}$  una chiusura algebrica di ${\displaystyle \mathbb {F} }$  ed ${\displaystyle \mathbb {E} }$  un'estensione di ${\displaystyle \mathbb {F} }$ : allora ${\displaystyle \mathbb {E} }$  è normale se e solo se ogni automorfismo di ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}}$  che fissa (è l'identità su) ${\displaystyle \mathbb {F} }$  manda ${\displaystyle \mathbb {E} }$  in sé.