In matematica, la funzione di Cantor (a volte chiamata funzione di Cantor-Vitali, o scala del diavolo) è un esempio di funzione continua e crescente con derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di che non contengono punti dell'insieme di Cantor.

Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a .

La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di pendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.

Definizione

Con le basi

La funzione di Cantor   è definita nel modo seguente:

  1. Scriviamo ogni numero   in base tre. Con questa notazione: ,  . Notiamo che alcuni numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio  3 (questo fatto è vero anche in base 10: infatti  ). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra  .
  2. Sostituiamo la prima occorrenza della cifra   con un   e tutte le cifre successive con  .
  3. Sostituiamo tutte le cifre   con  .
  4. Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è  .

Ad esempio:

  •  . Quindi  .
  •  , al passo 2 diventa  , quindi  . Quindi  .

Come limite di una successione

La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in  , costruite in questo modo:

  • Sia  ;
  • Sia   una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente   lati: 2n lati sono obliqui di coefficiente angolare   e   lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza  . Per ogni   risulta  ,  . In figura sono disegnate  ,   e  .
 
Le prime tre funzioni della successione

Si può "costruire" la  -esima poligonale   come una trasformazione della  : infatti, detti p   e   le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è  ), allora è   in  , mentre ogni lato obliquo di   (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo  ) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli   e  , e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo  .

Si può provare che risulta:

 .

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in  . Dunque per Errore del parser (funzione sconosciuta '\mapto'): {\displaystyle n \mapto \inf} converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.

Proprietà

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e suriettiva dall'intervallo [0, 1] in sé. È a variazione limitata ma non assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di [0, 1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha misura nulla), ossia negli intervalli del tipo (0.x1x2x3...xn022222..., 0.x1x2x3...xn200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo [0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.

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