Utente:LeFilsDePascal/sandbox

Campo elettrico

Per calcolare il campo elettrico nella regione, integreremo l'equazione di Poisson in una dimensione:

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}=-{\rho \over \epsilon }}$

La densità delle cariche è legata al drogaggio. Nell'ipotesi che sia uniforme:

${\displaystyle \rho (x)={\begin{cases}-qN_{A},&x\in [-W_{1},0]\\qN_{D},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}$

Integrando l'equazione di Poisson:

${\displaystyle {\frac {dV}{dx}}={\begin{cases}{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}x+C_{1},&x\in [-W_{1},0]\\-{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}x+C_{2},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}$

ed imponendo le condizioni al contorno:

${\displaystyle E(-W_{1})=0\!}$

otteniamo:

${\displaystyle E(x)=-{dV \over dx}={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}(x+W_{1}),&x\in [-W_{1},0]\\{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}(x-{N_{A} \over N_{D}}W_{1}),&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}$

Tensione

La tensione, nell'ipotesi di drogaggio uniforme, si ottiene integrando il campo elettrico lungo la regione:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+W_{1}x)+C_{1},&x\in [-W_{1},0]\\-{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}-{N_{A} \over N_{D}}W_{1}x)+C_{2},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}$

imponendo le condizioni al contorno:

${\displaystyle V(-W_{1})=0\!}$

otteniamo:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+W_{1}x+{1 \over 2}W_{1}^{2}),&x\in [-W_{1},0]\\-{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}-{N_{A} \over N_{D}}W_{1}x-{N_{A} \over 2N_{D}}W_{1}^{2}),&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}$

La differenza di tensione ai bordi della regione di svuotamento risulta:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta V&=V(W_{2})-V(-W_{1})=\\&=V(W_{2})=\\&={\frac {qN_{D}}{\epsilon }}\left(-{1 \over 2}W_{2}^{2}+{N_{A} \over N_{D}}W_{1}W_{2}+{N_{A} \over 2N_{D}}W_{1}^{2}\right)\end{aligned}}}$

Possiamo semplificare ulteriormente ricordando che nell'equilibrio elettrostatico la regione è nel complesso neutra, e la carica positiva nella zona n è uguale alla carica negativa nella zona p:

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad &N_{A}W_{1}=N_{D}W_{2}&\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \quad &W_{2}={N_{A} \over N_{D}}W_{1}&\Rightarrow \\\Rightarrow \quad &\Delta V={\frac {qW_{1}^{2}N_{A}}{2\epsilon }}\left({N_{A} \over N_{D}}+1\right)\end{aligned}}}$

Tensione di built-in

La tensione di built-in è la tensione che si crea ai bordi della regione di carica spaziale, in una giunzione p-n, all'equilibrio elettrostatico, e in assenza di tensioni esterne applicate. Ma ai morsetti metallici di un diodo, ad esempio, non può essere misurata a causa dell'effetto Volta: essi presenteranno una tensione nulla.

${\displaystyle V_{b-i}=V_{T}\cdot \ln {N_{A}N_{D} \over n_{i}^{2}}}$ ^[1]

Può essere ottenuta dall'equazione di drift-diffusion, considerato che nella regione non scorre corrente:

${\displaystyle J_{p}=0\quad \Rightarrow \quad q\mu _{p}\cdot pE-qD_{p}\cdot {\frac {dp}{dx}}=0}$

da cui l'equazione differenziale:

${\displaystyle E={D_{p} \over \mu _{p}}\cdot {1 \over p}{\frac {dp}{dx}}}$

che integrata ottiene:

${\displaystyle V_{b-i}=\Delta V=V_{T}\ln {p(-W_{1}) \over p(W_{2})}}$

dove la tensione termica è:

${\displaystyle V_{T}={\frac {D_{p}}{\mu _{p}}}={\frac {D_{n}}{\mu _{n}}}={kT \over q}}$

Si giunge alla prima formula ricordando che:

${\displaystyle {p(-W_{1}) \over p(W_{2})}={N_{A}N_{D} \over n_{i}^{2}}}$

Larghezza della regione

La larghezza è proporzionale alla radice della tensione inversa applicata.

Se la giunzione p-n viene polarizzata con una tensione inversa ${\displaystyle V_{R}\!}$, ai bordi della regione di carica si trova una tensione ${\displaystyle V_{R}+V_{b-i}\!}$. Basta risolvere per ${\displaystyle W_{1}\!}$ e ${\displaystyle W_{2}\!}$ le espressioni della tensione nella regione per ottenere:

${\displaystyle W_{1}={\sqrt {2\epsilon (V_{b-i}+V_{R}) \over qN_{A}\left(1+{N_{A} \over N_{D}}\right)}}}$

e

${\displaystyle W_{2}={\sqrt {2\epsilon (V_{b-i}+V_{R}) \over qN_{D}\left(1+{N_{D} \over N_{A}}\right)}}}$

Capacità di svuotamento

La regione di carica spaziale presenta un comportamento capacitivo non lineare. Questo è dovuto al fatto che la carica presente dipende dalla tensione, ma con una proporzionalità non lineare. Infatti variando la tensione, varia la larghezza della regione, e quindi la carica, ma secondo una radice della tensione. In generale essa sarà uguale a:

${\displaystyle C_{j}={C_{j0} \over {\sqrt[{n}]{1-{V_{D} \over V_{b-i}}}}}}$

dove n è pari a 2 (radice quatrata) nel caso di drogaggio uniforme, e giunzione p-n brusca, oppure è pari a 3 nel caso di drogaggio graduale.

Possiamo calcolare la capacità di piccolo segnale derivando la carica rispetto alla tensione applicata:

${\displaystyle C_{j}={dQ \over dV_{R}}={dQ \over dW_{1}}{dW_{1} \over dV_{R}}}$

Nel caso di drogaggio uniforme si ha:

${\displaystyle Q=qN_{D}AW_{1}\quad \Rightarrow \quad {dQ \over dW_{1}}=qAN_{A}}$

dove ${\displaystyle A\!}$ è l'area della giunzione.

Inoltre:

${\displaystyle {dW_{1} \over dV_{R}}={\sqrt {\epsilon \over 2qN_{A}\left(1+{N_{A} \over N_{D}}\right)(V_{b-i}+V_{R})}}}$

Infine, moltiplicando, e definendo ${\displaystyle V_{D}=-V_{R}\!}$, per considerare una polarità concorde alla polarizzazione diretta:

${\displaystyle C_{j}=A{\sqrt {q\epsilon N_{A}N_{D} \over 2V_{b-i}(N_{A}+N_{D})}}\cdot {1 \over {\sqrt {1-{V_{D} \over V_{b-i}}}}}}$

Possiamo definire il coefficiente ${\displaystyle C_{j0}\!}$ come la capacità di svuotamento per ${\displaystyle V_{D}=0\!}$:

${\displaystyle C_{j0}=A{\sqrt {q\epsilon N_{A}N_{D} \over 2V_{b-i}(N_{A}+N_{D})}}}$

Bibliografia

• Paul R. Gray, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, Wiley, 2001. ISBN 0471321680

Note

1. ^ I. Getreu, Modelling the Bipolar Transistor, Tektronix Inc., 1976. ISBN 0444417222