Utente:Cicognac/Sandbox/9

Propedeuticità per la IUT

La IUT è nota per la sua enorme difficoltà e vastità; entrambe pongono anche a molti matematici esperti degli ostacoli, per cui è difficile discutere la IUT e i suoi punti di forza (e.g., le idee che contiene e i suoi sviluppi) e di controversia (e.g., la correttezza del corollario 3.12).

Alcuni matematici, come Go Yamashita, hanno pubblicato delle spiegazioni semplificate della IUT; in particolare, lo stesso Yamashita ha condensato in 400 pagine i punti fondamentali della geometria mono-anabeliana assoluta e della IUT proprio per capire la IUT. Se si esclude la bibliografia e gli indici, sono 379 pagine.

Lo stesso Mochizuki ha indicato quali dei suoi articoli sono necessari per capire specificatamente la geometria mono-anabeliana assoluta dietro alla serie di 4 paper della IUT avendo già chiare le basi di geometria anabeliana classica (la quale a sua volta si studia nei dottorati di ricerca); tuttavia, il gruppo di articoli che introduce la geometria mono-anabeliana assoluta (grossomodo un argomento da post-dottorato di ricerca) è molto lungo. La lunghezza di ogni paper citato da Mochizuki in formato PDF, esclusa la bibliografia e gli indici, è:


Nome	Anno	Pagine
The geometry of anabelioids	2001	55
The absolute anabelian geometry of canonical curves	2001	32
Categorical representation of locally noetherian log schemes	2002	25
Semi-graphs of anabelioids	2004	86
Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces	2004	37
Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves	2005	92
The geometry of Frobenioids I: the General Theory	2005	119
The geometry of Frobenioids II: Poly-Frobenioids	2005	68
The étale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations	2006	110
Topics in absolute anabelian geometry I: generalities	2008	80
Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups and endomorphisms	2008	74
Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms	2008	162

Pertanto, gli articoli di geometria mono-anabeliana assoluta che lo stesso Mochizuki indica come preliminari alla IUT e affrontabili in un dottorato di ricerca, senza la bibliografia ammontano a 940 pagine PDF in formato A4.

Dall'introduzione compatta di 379 pagine di Go Yamashita, che rappresenta un tentativo di compattare 940 pagine di geometria mono-anabeliana assoluta propedeutica insieme a 637 pagine di IUT (dunque 1577 pagine ridotte al 24% circa), sono ripescabili molti argomenti di matematica avanzata propedeutici alla IUT (e.g., perché usati nella teoria o nelle dimostrazioni e discussioni di risultati). Tali argomenti sono in parte citati da Yamashita e in parte ricavabili dalle spiegazioni, dimostrazioni e discussioni dei risultati.

Due concetti di partenza sono le curve ellittiche e le curve iperboliche, entrambe su campi numerici; della curve iperbolica viene anche calcolato il genere (e.g., genere 0).

Gli argomenti di matematica avanzata (tipicamente universitaria o applicata a livello di dottorato e post-dottorato) ripescabili dalle prime 127 pagine su 379 con una classifica per branca sono:

teoria dei campi: campi numerici (Number Fields, NF), i campi locali non-archimedei, campi di moduli, campi sub p-adici, campi topologici.
algebrica e teoria algebrica dei numeri (o "teoria dei numeri algebrica"): chiusura algebrica di un campo numerico. Congettura di Weil per le varietà abeliane (queste ultime sono un tipo di varietà; le varietà provengono dal campo della geometria differenziale), curva iperbolica affine, gruppo di decomposizione (e.g., di una cuspide), carattere ciclotomico l-adico, campo finitamente generato, teorema di Riemann-Roch, divisore cuspidale, teoria di Raynaud sulle jacobiane, il concetto di fibra. Da un ramo della geometria algebrica, la geometria logaritmica (o "geometria algebrica logaritmica"), deriva il concetto di curva logaritmica iperbolica liscia.
Teoria dei modelli: riduzione algebrica (e.g., riduzione semistabile, "bad reduction" cioè "riduzione cattiva")
Combinando una versione della congettura di Grothendieck sui campi sub p-adici e il diagramma "endomorfismo nascosto" (hidden endomorphism), si ottiene la cuspidalizzazione ellittica o "cuspidalizzazione di Belyi" (legata al teorema di Belyi e rappresentabile con un diagramma).

Dato un campo base e una curva iperbolica di tipo Belyi su un campo sub p-adico, se si applica la cuspidalizzazione di Belyi, si ottiene un algoritmo di ricostruzione sia per la porzione NF (Number Field) del campo base, sia per il campo di funzione di questa curva.

Data una curva iperbolica di tipo Belyi su un campo locale a caratteristiche miste, sempre applicando la cuspidalizzazione di Belyi, si ottiene un algoritmo di ricostruzione per il campo base di questa curva.
Teoria dei gruppi: gruppi Heisenberg, il gruppo topologico Hausdorff "G", i sottogruppi (inclusi i sottogruppi di Sylow e i sottogruppi aperti), monoide e monoide topologico commutativo, pseudo-monoide, monoide scisso (split monoid) associato a un campo topologico e gruppi profiniti. Da una peculiare versione della teoria dei gruppi, la teoria dei gruppi geometrica, provengono le proprietà dei sottogruppi ("commensurabilmente terminale, relativamente snello, snello, temperato-snello"). Gruppi di Lie e teorema di Cartan (specificatamente, il teorema del sottogruppo chiuso, che riguarda proprio i gruppi di Lie). Gruppi fondamentali temperati (che riguardano le varietà p-adiche), per esempio per spazi su campi non-archimedei; essi sono correlati alla copertura temperata (tempered covering). Gruppi di decomposizione, elementi coniugati (conjugates). Classe laterale (coset) e relativa decomposizione. Sottogruppo inerzia (fa parte in particolare della teoria della ramificazione), e.g., sottogruppi di inerzia di una cuspide. Sottogruppi di inerzia coniugati. Gruppi profiniti liberi. Sottogruppo verticale. Indice di ramificazione, sottogruppo compatto.
Teoria degli anelli: gli anelli sono fissati sui punti di l-torsione della curva X_F (vedi IUTch I, introduzione) e su un lato dei theta-link. Il punto di torsione è a sua volta un contenuto appartenente alla teoria degli anelli. Tali strutture ad anello sono però dette "aliene" siccome non si trovano in un contesto di geometria aritmetica tradizionale. La nozione di multiradialità (l'opposto dell'uniradialità) permette di osservare gli anelli sull'altro lato dei theta-link nonostante le piccole indeterminazioni/perdite di informazioni/distorsioni/deformazioni nella IUT (nel momento in cui il gruppo di simmetria additiva e moltiplicativa sono distaccati per svolgere calcoli paralleli in due universi/ambienti/teatri di Hodge diversi).
Analisi complessa multivariata: involucro olomorfico, detto anche "involucro di olomorfia" (holomorphic hull, evelope of holomorphy) di un sottoinsieme A.
Algebra astratta in generale: teoria di Kummer (a cui si collega direttamente la mappa di Kummer), successione di Chaucy di punti-NF (Cauchy sequence of NF-points).

La IUT si basa anche sulla funzione theta in geometria anabeliana, una funzione piena di proprietà di simmetria che ha una versione étale (“immobile”). La teoria intorno alla funzione theta étale si focalizza sullo stabilimento di proprietà di rigidità degli ambienti mono-theta. In tale gruppo di osservazioni, l’applicazione della cuspidalizzazione ellittica mostra la rigidità multipla costante di tale ambiente. Inoltre, la struttura precisamente quadratica di un gruppo Heisenberg mostra la rigidità ciclotomica di tale ambiente. Se si applica la struttura al massimo quadratica di un gruppo Heisenberg, si mostra anche la rigidità discreta di tale ambiente. La funzione theta serve a contenere i valori theta (che agiscono sui gusci logaritmici). Dato il concetto di coricità (coricity), la funzione theta contiene i valori theta nella sua versione k-corica (usata per stabilire l’algoritmo multiradiale e performare il distacco di Kummer multiradiale). In generale, i monoidi generati dalle funzioni theta sono detti "monoidi theta"; tali monoidi si possono scindere con le scissioni canoniche (canonical splittings).

La rigidità ciclotomica degli ambienti mono-theta permette di usare la teoria di Kummer in modo multiradiale (per eseguire il distacco di Kummer multiradiale) per la funzione theta. Di contro, la versione più classica della rigidità ciclotomica (cioè quella che viene dedotta dalla teoria dei campi di classe locali per estensioni localmente finite, Local Class Field Theory for Maximal Locally Finite extension of a local field, in sigla LCFT for MLF's) non produce algoritmi multiradiali. In generale, gli ambienti mono-theta hanno rigidità multipla costante.
La teoria di Kummer applicata agli ambienti mono-theta e alle funzioni theta (entrambi per funzioni k-coriche) porta alla teoria della valutazione di Hodge-Arakelov e alla costruzione dei monoidi gaussiani (monoidi generati dai valori theta).

Alcuni gruppi topologici e alcuni frobenioidi temperati permettono la ricostruzione di ambienti mono-theta insieme alla rigidità discreta degli ambienti mono-theta; dopodiché, si riesce (tra i vari) a costruire i monoidi gaussiani. Questi ultimi, se combinati con la teoria dei log-link, portano ai monoidi LGP, che sono dotati di scissioni canoniche naturali (natural canonical splittings) che sorgono proprio dalla rigidità multipla costante degli ambienti mono-theta.

I frobenioidi sono sia usati per ricavare algoritmi di ricostruzione appartenenti alla teoria delle categorie (dunque quasi non attinenti alla IUT), ma gli oggetti simil-Frobenius (Frobenius-like) sono usati anche per ricavare i theta-log e i log-link. Gli oggetti simil-étale (étale-like) penetrano i theta-link e i log-link, che altrimenti sarebbero impenetrabili come dei muri.

Se si combina la multiradialità dell'algoritmo multiradiale finale con la compatibilità di tale algoritmo sia con il theta-link che con i volumi logaritmici, i log-link e varie proprietà che riguardano i frobenioidi globali, si ottiene un limite superiore (upper bound) per l'altezza di una data curva ellittica.
La teoria intorno ai log-link e ai gusci logaritmici, combinati con la teoria di Kummer che mette in correlazione le versioni simil-Frobenius e simil-étale degli oggetti, portano alle corrispondenze di Kummer logaritmiche (log-Kummer correspondences) per i valori theta. Le corrispondenze di Kummer logaritmiche hanno proprietà di non-interferenza che, se applicate, portano a ottenere la multiradialità dell'algoritmo finale; se si usano i valori theta su questo algoritmo, si costruiscono gli oggetti theta-pilota e i gusci logaritmici, tra i vari.
I gusci logaritmici (per la precisione, i gusci logaritmi mono-analitici simil-étale) equipaggiati con funzioni di volume logaritmico (log-volume functions, dove il logaritmo è riferito a una misura p-adica) sono il primo dei tre oggetti principali per stabilire gli algoritmi multiradiali; inoltre, i gusci logaritmici sono anche gli oggetti su cui agiscono le indeterminazioni. I valori theta che agiscono su questi gusci logaritmici sono il secondo dei tre oggetti; i campi di numeri globali che agiscono su questi gusci logaritmici sono il terzo. I gusci logaritmici si possono anche pensare come "contenitori rigidi" e sono costruibili sia per campi locali archimedei che non-archimedei. I gusci logaritmici discussi nella IUT sono gusci logaritmici olomorfi simil-Frobenius, gusci logaritmici olomorfici simil-étale e gusci logaritmici mono-analitici simil-étale.

Teoria delle categorie e topologia astratta: isomorfismo e isomorfismo naturale (e.g., isomorfismo dei monoidi topologici, isomorfismo di Kummer), omomorfismo (e omomorfismo naturale e iniettivo), automorfismo lineare e primitivo e interno, poli-morfismo, poli-isomorfismo e poli-automorfismo più il concetto di poli-azione (un'azione attraverso il poli-automorfismo) e di capsula. Compattificazione (e il relativo genere), concetto poi ripreso dalla geometria algebrica; compattificazione liscia canonica. Rivestimento (originario della topologia ma esteso in geometria algebrica fino a formare il "rivestimento di Galois étale finito" e il "rivestimento abeliano", Galois covering e Abelian covering; quest’ultimo può essere o non essere ramificato. Rivestimento étale (étale covering, e.g. rivestimento étale profinito) e rivestimento temperato o "temp" (tempered covering); in questo contesto, l'analogo di un anabelioide connesso è il "temperoide connesso", mentre come proprietà l’analogo di "snello" è "temperato-snello" (temp-slim). Campi Kummer-fedeli (Kummer-faithful). Immersione aperta (e.g., di gruppi profiniti). Superficie topologica orientabile. Pre-fascio (presheaf). Morfismo (e.g., morfismo locale, morfismo di uno spazio Aut-olomorfico, morfismo di orbispazi Aut-olomorfici ellitticamente ammissibili con strutture di Kummer, morfismo di monoidi scissi), concetto per cui è necessario già conoscere le mappe che preservano la struttura (structure-preserving maps). Orbifold (cioè "orbit manifold" o "orbivarietà", e.g., orbifold complesso unidimensionale; le orbisuperfici invece sono orbivarietà bidimensionali, e.g., orbisuperfici di Riemann. Il concetto di orbispazio è correlato alle orbivarietà). Monoidi topologici astratti. Morfismo dei temperoidi (l'analogo in contesto temperato del "morfismo degli anabelioidi").

Analisi p-adica: lemma di Krasner e il logaritmo p-adico o "funzione logaritmica p-adica" (cioè la funzione inversa della funzione esponenziale p-adica)

Teoria dei grafi: grafo duale, semi-grafo duale, semi-grafi di anabelioidi tutti e tre associati a una curva iperbolica. Semi-grafo profinito, semi-grafo non contraibile

Teoria delle mappe (multidisciplinare, ma collegata in particolare con l'algebra astratta): mappe di transizione, mappa esponenziale p-adica (la mappa esponenziale invece deriva dalla geometria differenziale), mappa di Kummer di un campo k. Mappe di trasferimento (dove il trasferimento è un concetto di teoria dei gruppi) e mappe che preservano la struttura (structure-preserving maps, cioè omomorfismi). Forma bilineare (che deriva dal concetto di mappa bilineare).

Viene poi usata la teoria dei reticoli per costruire, nella IUT, il reticolo bidimensionale del logaritmo di theta (con i log-link e i theta-link), che è un reticolo altamente non commutativo.

Teoria degli schemi: pila algebrica (algebraic stack) su un campo k, sottoschema aperto. Orbicurva iperbolica su un campo k (cioè, data una curva iperbolica su un'estensione finita di k, l'orbicurva iperbolica è una pila algebrica su k la quale ha un rivestimento di Galois étale finito Y → X). Orbicurva semi-ellittica su k strettamente di tipo Belyi.

Viene usato anche il calcolo tensoriale siccome viene citato il prodotto tensoriale.

Dalla teoria dei numeri algebrica, viene citato il lemma di Uchida (che a sua volta è parte del teorema di Neukirch-Uchida, che però fa parte della geometria anabeliana classica) e lo spazio analitico rigido (su cui si sviluppa la geometria rigida, "rigid geometry", o "geometria rigida analitica"; su di esso, si trova la fibra generica di Raynaud, Raynaud's generic fiber).

Dato un campo K, un tripode su K è una curva algebrica che possiede un particolare isomorfismo. "Tripode" si può abbreviare con la sigla "tpd".

Oltre alla funzione theta e alla funzione di volume logaritmico, tra le varie funzioni avanzate, è usata la funzione di volume logaritmico radiale.

Teoria dei moduli: moduli topologici additivi e modulo di Tate.

Geometria aritmetica: fasci di rette aritmetici (arithmetic line bundle) su uno schema X. Divisore aritmetico e divisore aritmetico principale. Funzione altezza logaritmica (logarithmic height function) di un fascio di rette aritmetico su uno schema X. Altezza di Faltings (Faltings height, ht^Falt). Metrica hermitiana su un fascio di rette. Abelinizzazione (una struttura algebrica viene resa abeliana). Ipotesi di Riemann per le varietà abeliane su campi finiti (dimostrata da Weil).

Teoria delle varietà (geometria differenziale): varietà semi-abeliana (un'estensione della varietà abeliana con un toro algebrico) e varietà jacobiana di una compattificazione, superficie di Riemann (e.g., superficie di Riemann iperbolica di tipo finito, superficie di Riemann biolomorfa) ovvero una varietà complessa. Spazi Aut-olomorfici (Aut-holomorphic space) associati a una superficie di Riemann X. L'Aut-olomorficità (dove "Aut" deriva dalla parola "automorfismo") è correlata anche alle strutture Aut-olomorfe e pre-Aut-olomorfe e al disco Aut-olomorfo (in riferimento al disco aperto unità, unit open disc). Varietà p-adiche.

Identità miracolosa (Miracle Identity): questa identità trovata da Mochizuki durante lo studio della teoria di Hodge-Arakelov l'ha portato a iniziare a pensare e studiare il concetto di inter-universalità; dei calcoli a essa correlati inoltre portano a un potenziale collegamento tra la costruzione della IUT e l'ipotesi di Riemann attraverso la trasformazione di Melline inter-universale (p.46-47).