Utente:Cicognac/Sandbox/9
La geometria anabeliana è una branca della geometria aritmetica che studia gli oggetti geometrici dal punto di vista dei gruppi fondamentali aritmetici. In altre parole, la geometria anabeliana discute quanta informazione intorno agli oggetti geometrici è contenuta nei loro gruppi fondamentali aritmetici[1] (e.g., il gruppo fondamentale étale, dove "étale" significa "immobile").
In totale, si suddivide in tre approcci che corrispondono a tre diverse teorie: geometria bi-anabeliana (approccio classico), geometria anabeliana combinatorica e geometria mono-anabeliana assoluta.
Classificazione
La geometria algebrica, utilizza le strutture dell'algebra astratta per risolvere problemi di geometria. Tipicamente, studia le varietà algebriche, cioè l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali (sui numeri reali o numeri complessi); degli esempi sono le rette, cerchi, ellissi, iperboli e curve cubiche (e.g., le curve ellittiche).
All'interno dell'algebra astratta sono compresi vari sotto-campi e specializzazioni: la geometria algebrica reale (lo studio delle varietà algebriche reali), la teoria delle singolarità (studio delle singolarità delle varietà algebriche), la geometria algebrica computazionale (costruzione di algoritmi e software informatici per studiare le proprietà delle varietà algebriche) e la geometria aritmetica (studio delle varietà algebriche su campi non algebricamente chiusi e campi particolari come campi di numeri razionali, campi numerici, campi di funzione e campi p-adici; un suo filone di studio è quello sulle equazioni diofantee).
Nella geometria aritmetica, è racchiusa proprio la geometria anabeliana, che dunque si focalizza sui su quanta informazione intorno agli oggetti geometrici è contenuta nei loro gruppi fondamentali aritmetici. Un esempio concreto è quanta informazione sulla classe di isomorfismo di una varietà X è contenuta nel suo gruppo fondamentale étale.
Approcci e alcuni risultati
La geometria anabeliana studia l'informazione contenuta nei gruppi fondamentali aritmetici degli oggetti geometrici secondo tre approcci diversi.
Geometria bi-anabeliana (approccio classico)
Il primo approccio è quello classico, che dunque è alla base della geometria anabeliana classica o "geometria bi-anabeliana": in questo approccio, dati due oggetti geometrici, viene effettuato un paragone tra loro attraverso un insieme di morfismi tra loro e un insieme di omomorfismi tra i gruppi fondamentali étale. Un morfismo tra oggetti geometrici particolarmente studiato è l'isomorfismo. Nelle discussioni di geometria bi-anabeliana, il termine "...appartenente alla teoria dei gruppi" (group-theoretic...), per esteso, significa "preservato da un isomorfismo arbitrario tra i due gruppi fondamentali aritmetici in considerazione" (preserved by an arbitrary isomorphism between the arithmetic fundamental groups under consideration).[1]
La geometria bi-anabeliana ha ottenuto i primi risultati su campi numerici e i loro gruppi di Galois assoluti grazie agli studi di Jürgen Neukirch, Masatoshi Gündüz Ikeda, Kenkichi Iwasawa, Kôji Uchida (lemma di Uchida utilizzato poi nel teorema di Neukirch-Uchida, 1969) e alle congetture di Alexander Grothendieck in Esquisse d'un Programme ("Schizzo di un programma"). Una di esse, la congettura anabeliana di Grothendieck, è stata dimostrata per le curve affini da Hiroaki Nakamura e Akio Tamagawa e dimostrata completamente da Shin'ichi Mochizuki usando la teoria di Hodge p-adica, dunque una versione particolare della teoria di Hodge.
Alcuni risultati della geometria bi-anabeliana riguardano i campi locali a caratteristiche miste (Mixed-characteristic Local Fields, MLF). Ad esempio, è stato stabilito la classe di isomorfismo di un MLF non è determinata dalla classe di isomorfismo del gruppo Galois assoluto del MLF. Inoltre, esiste un automorfismo esterno (outer automorphism) del gruppo Galois assoluto di un MLF che non deriva da nessun automorfismo del MLF; questo automorfismo esterno è stato oggetto di studi.
Geometria anabeliana combinatorica
La geometria anabeliana combinatorica è un approccio che tenta la ricostruzione di oggetti appartenenti alla teoria degli schemi e alla teoria degli anelli da dati combinatorici più semplici/primitivi. I risultati di questo approccio sono stati applicati da Shin'ichi Mochizuki, docente del RIMS a Kyoto, a curve iperboliche su campi algebricamente chiusi e a nuove dimostrazioni di casi particolari della congettura anabeliana di Grothendieck senza usare la teoria di Hodge p-adica. Inoltre Yuichiro Hoshi, ex-studente di dottorato di Mochizuki (aprile 2006 - luglio 2009) e docente del RIMS di Kyoto,[2] ha esteso insieme a Mochizuki i risultati della geometria anabeliana combinatorica alle curve iperboliche. I risultati sono applicabili allo studio del gruppo Grothendieck-Teichmüller (gruppo GT), un gruppo particolare in teoria dei gruppi che è strettamente correlato al gruppo di Galois assoluto dei numeri razionali, e allo studio dei campi locali a caratteristiche miste.
Il fondatore di questo approccio è Mochizuki attraverso gli articoli A combinatorial version of the Grothendieck conjecture (2007)[3] e On the combinatorial cuspidalization of hyperbolic curves (2010).[4] Altri grandi contributi sono venuti da una serie di 4 articoli di Yuichiro Hoshi, Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves (2012-2013), poi ripubblicati nella versione aggiornata.[5][6][7][8]
Geometria mono-anabeliana assoluta
La geometria mono-anabeliana assoluta invece è un approccio che è capace di ricostruire alcune le curve iperboliche strettamente di tipo Belyi su campi numerici e campi locali dal suo gruppo algebrico fondamentale. La ricostruzione della curva avviene fino all'isomorfismo; due gruppi citati sono il gruppo algebrico fondamentale étale e il gruppo fondamentale di una vasta classe di curve ellittiche perforate (punctured, cioè a cui è stato tolto un punto) su campi numerici.
Dato un oggetto geometrico che è oggetto di studio, questo approccio si basa su algoritmi di teoria dei gruppi (group-theoretic algorithms) i cui dati in input sono un singolo gruppo topologico astratto che è isomorfo al gruppo fondamentale aritmetico dell'oggetto geometrico.[1]
Pertanto, gran parte dello studio e ricerca si svolge sulla costruzione di questi "algoritmi di ricostruzione mono-abeliani"; tali algoritmi hanno il punto di forza di funzionare senza menzionare le copie di oggetti geometrici come modello fisso di riferimento. "Group-theoretic" riferito agli algoritmi, nella geometria mono-anabeliana assoluta, significa che essi sono elaborati in un linguaggio che dipende solo dalla struttura del gruppo topologico del gruppo fondamentale aritmetico in considerazione.[1]
Il matematico che ha posto le basi della geometria mono-anabeliana assoluta è Shin'ichi Mochizuki con una serie di ricerche e pubblicazioni svolte tra il 2000 e il 2015. In particolare, tre articoli fondamentali sono Topics in Absolute Anabelian Geometry I (2008), II (2008) e III (2015); il primo è stato poi ripubblicato con emendamenti e migliorie.[9][10][11] Due sunti di geometria mono-anabeliana sono stati prodotti da Yuichiro Hoshi (ma è focalizzato solo sui MLF)[1] e la tesi di laurea magistrale di Alexander Gietelink Oldenziel.[12]
Un concetto importante in geometria mono-anabeliana assoluta è quello di MLF-paio (MLF-pair), diviso in vari tipi. Ad esempio, dato un monoide commutativo M e un gruppo G e un MLF k dotato di chiusura algebrica, l'MLF×-paio è una collezione/insieme di dati G ↷ M, cioè in cui esiste un'azione del gruppo G sul monoide M per cui esiste un isomorfismo G ↷ M con un particolare gruppo di dati relativi a k e ad alcune sue chiusure algebriche; se G ↷ M è un MLF-paio, allora il gruppo G è la porzione simil-étale (étale-like portion) del paio, mentre il monoide M è la porzione simil-Frobenius (Frobenius-like portion) del paio. Le MLF-paia tra di loro si possono sincronizzare, per cui viene osservato un fenomeno detto "sincronizzazione ciclotomica", cioè un isomorfismo tra ciclotomi; questa sincronizzazione è riferita ai ciclotomi, che sono degli oggetti dotati di un particolare isomorfismo. Un ciclotome è costruibile dalla porzione simil-étale, mentre un altro ciclotome è costruibile dalla porzione simil-Frobenius; esistono anche ciclotomi simil-étale e ciclotomi simil-Frobenius. La sincronizzazione ciclotomica si può anche costruire attraverso la teoria degli schemi e degli anelli. Tuttavia, non è possibile costruire la sincronizzazione ciclotomica in tutti i casi: ad esempio, se i ciclotomi hanno strutture appartenenti alla teoria degli schemi e degli anelli che fanno perdere parte della rigidità, allora la costruzione della sincronizzazione ciclotomica non è possibile.[1] I monoidi simil-étale mono-abeliani sono monoidi costruiti a partire dalle prozioni simil-étale; vengono costruiti con degli algoritmi di ricostruzione mono-anabeliani. Alcuni monoidi sono costruibili dalle porzioni simil-Frobenius attraverso algoritmi funtoriali (functorial algorithms).[1]
Dei fenomeni in geometria mono-anabeliana assoluta sono i poli-isomorfismi della sincronizzazione ciclotomica, che a loro volta inducono un altro fenomeno, i poli-isomorfismi di Kummer (ad esempio per le MLF-paia). Il poli-isomorfismo di Kummer è il poli-isomorfismo ottenuto applicando una versione della teoria di Kummer al poli-isomorfismo della sincronizzazione ciclotomica; il poli-isomorfismo di Kummer è un poli-isomorfismo tra la porzione simil-Frobenius e un monoide simil-étale mono-abeliano.[1]
L'MLF-paio è usato in una tecnica della geometria mono-anabeliana assoluta, il trasporto mono-anabeliano (ad esempio, per le MLF-paia). Il trasporto mono-anabeliano fa uso di connessioni dette "link", come i link simil-étale e i link simil-Frobenius (questi ultimi, con l'algoritmo di ricostruzione anabeliana, sono ricavabili dai link simil-étale); fa inoltre uso del distacco di Kummer (cioè il passaggio, attraverso il poli-isomorfismo di Kummer, da strutture simil-Frobenius alle corrispondenti strutture simiò-étale) e del trasporto étale di porzioni simil-Frobenius in un diagramma da sinistra a destra.[1]
Uno dei risultati della geometria mono-anabeliana assoluta è dato dagli algoritmi di ricostruzione mono-anabeliani per i campi locali a caratteristiche miste (MLF), tutti algoritmi di teoria dei gruppi i cui dati in input sono un gruppo astratto che è isomorfico al gruppo Galois assoluto di un MLF; questo dato in input viene detto "MLF-tipo" (MLF-type).[1]
Nel 2023, Hyeon Seung-hyeon ha ottenuto alcuni risultati mono-anabeliani sull'isomorfismo di classe dei campi MLF.[13]
Teoria di Teichmüller inter-universale
Svariati risultati della geometria mono-anabeliana assoluta, insieme a una vasta serie di branche della matematica avanzate applicate in contesto astratto, sono alla base della teoria di Teichmüller inter-universale (IUT) o "teoria della deformazione aritmetica", una teoria contenente un algoritmo di ricostruzione sviluppata da Shin'ichi Mochizuki tra il 2008 e il 2012 e pubblicata in 4 grossi articoli il 30 agosto 2012. La teoria IUT appartiene alla geometria mono-anabeliana assoluta e, nel nome, cita la teoria di Teichmüller classica, che è una teoria sulle deformazioni delle superfici di Riemann, dunque superfici complesse, nello spazio di Teichmüller; di tale teoria, esiste anche una versione p-adica (teoria di Teichmüller p-adica).
La IUT tenta di lavorare sugli oggetti geometrici separando il gruppo di simmetria additiva e moltiplicativa con un'operazione detta "distacco di Kummer multiradiale" basato su un algoritmo multiradiale; i due gruppi sono dunque separati in due "mondi/universi/ambienti" diversi (detti "teatri di Hodge") per poi essere oggetto di complessi calcoli sincronizzati. Dopodiché, effettua delle deformazioni sulla simmetria moltiplicativa. A seguito della ricostruzione dell'oggetto in un singolo teatro di Hodge, che non avviene in modo perfetto per la presenza naturale di indeterminatezze/perdite di informazioni/deformazioni che agiscono sui gusci logaritmici, si calcola il volume di tali indeterminatezze per costruirvi delle disequazioni. Queste disequazioni vengono usate per provare risultati in teoria dei numeri, come ad esempio la congettura abc, la congettura di Szpiro, la congettura di Vojta e le versioni generalizzate dell'ultimo teorema di Fermat.
La IUT è oggetto di controversia nella comunità matematica in merito alla sua effettiva correttezza, soprattutto a seguito delle critiche sollevate prima da Peter Scholze e Jakob Stix e a seguito di Kirti Joshi;[14] la controversia è aggravata dalla lunghezza e dalla difficoltà enorme della teoria. La stessa geometria anabeliana classica, dunque l'approccio da cui prende le distanze l'approccio mono-anabeliano, è complessa siccome già in partenza è un argomento tipicamente affrontabile nei dottorati di ricerca in matematica pura.
Note
- ^ a b c d e f g h i j (EN) Yuichiro Hoshi, Introduction to Mono-Anabelian Geometry (PDF), gennaio 2018.
- ^ (EN) To Prospective Students and Visitors of Shinichi Mochizuki, su www.kurims.kyoto-u.ac.jp. URL consultato il 19 luglio 2025.
- ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, A COMBINATORIAL VERSION OF THE GROTHENDIECK CONJECTURE (PDF), Kyoto, aprile 2007.
- ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, ON THE COMBINATORIAL CUSPIDALIZATION OF HYPERBOLIC CURVES (PDF), Kyoto, 2010.
- ^ (EN) Yuichiro Hoshi e Shin'ichi Mochizuki, TOPICS SURROUNDING THE COMBINATORIAL ANABELIAN GEOMETRY OF HYPERBOLIC CURVES I: INERTIA GROUPS AND PROFINITE DEHN TWISTS (PDF), Kyoto, aprile 2011.
- ^ (EN) Yuichiro Hoshi e Shin'ichi Mochizuki, TOPICS SURROUNDING THE COMBINATORIAL ANABELIAN GEOMETRY OF HYPERBOLIC CURVES II: TRIPODS AND COMBINATORIAL CUSPIDALIZATION (PDF), ottobre 2021.
- ^ (EN) Yuichiro Hoshi e Shin'ichi Mochizuki, TOPICS SURROUNDING THE COMBINATORIAL ANABELIAN GEOMETRY OF HYPERBOLIC CURVES III: TRIPODS AND TEMPERED FUNDAMENTAL GROUPS (PDF), Kyoto, giugno 2022.
- ^ (EN) Yuichiro Hoshi e Shin'ichi Mochizuki, TOPICS SURROUNDING THE COMBINATORIAL ANABELIAN GEOMETRY OF HYPERBOLIC CURVES IV: DISCRETENESS AND SECTIONS (PDF), Kyoto, luglio 2022.
- ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, TOPICS IN ABSOLUTE ANABELIAN GEOMETRY I: GENERALITIES (PDF), Kyoto, marzo 2012.
- ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, TOPICS IN ABSOLUTE ANABELIAN GEOMETRY II: DECOMPOSITION GROUPS AND ENDOMORPHISMS (PDF), Kyoto, marzo 2008.
- ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, TOPICS IN ABSOLUTE ANABELIAN GEOMETRY III: GLOBAL RECONSTRUCTION ALGORITHMS (PDF), Kyoto, novembre 2015.
- ^ (EN) Alexander Gietelink Oldenziel, Mono-Anabelian Geometry (PDF), Utrecht, Università di Utrecht, 16 novembre 2017.
- ^ (EN) Seung-Hyeon Hyeon, The m-step solvable anabelian geometry of mixed-characteristic local fields (PDF), 27 ottobre 2024, DOI:10.48550/arXiv.2405.16950. URL consultato il 19 luglio 2025.
- ^ (EN) Controversial math proof divides experts in bitter academic dispute, su Earth.com. URL consultato il 19 luglio 2025.
