Funzione convessa

Sia ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ una funzione.Essa si dice convessa in ${\displaystyle I}$ se e solo se ${\displaystyle \forall x,y\in I,\forall \lambda \in [0,1]}$ vale la seguente disuguaglianza : ${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$ (chiamata proprio disuguaglianza di convessità). Se l'uguaglianza vale solo nel caso in cui ${\displaystyle x=y}$ allora la funzione si dice strettamente convessa. Dalla disuguaglianza si ricava facilmente che una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici dell'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione. Una funzione si dice concava se ${\displaystyle -f}$ è convessa.

Si può dare un'altra definizione analoga di convessità definendo l'epigrafico (o sopragrafico) di una funzione come l'insieme ${\displaystyle \operatorname {epi} f=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geq f(x)\right\}}$. Se l'epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano allora la funzione è convessa.

Vediamo ora alcune proprietà :

1) Se ${\displaystyle f}$ è continua in ${\displaystyle I}$ allora essa è convessa se e solo se ${\displaystyle f({\frac {x+y}{2}})\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}},\forall x,y\in I}$

2) Si dimostra facilmente che se ${\displaystyle f}$ è derivabile due volte in ${\displaystyle I}$ essa è convessa se e solo se ${\displaystyle f''(x)\geq 0}$