Funzione intera
In analisi complessa, per funzione intera si intende una funzione che è olomorfa in tutti i punti del piano complesso. I più semplici esempi di funzioni intere sono le funzioni polinomiali, la funzione esponenziale e le funzioni ottenute mediente somme, prodotti e composizioni funzionali delle precedenti. Anche le funzioni trigonometriche e le iperboliche sono intere in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale. Ogni funzione intera si può rappresentare con una serie di potenze che converge per ogni valore complesso della variabile.
Nè la funzione logaritmo, nè la funzione radice quadrata sono intere.
Altre funzioni intere sono:
- le funzioni di Airy;
- la funzione degli errori erf(z) e le sue varianti erfc(z) ed erfi(z);
- la reciproca della funzione Gamma;
- la funzione integral seno.
Si noti che una funzione intera può presentare una singolarità, anche una singolarità essenziale nel punto all'infinito del piano complesso.
Un risultato importante sulle funzioni intere è il teorema di Liouville:
- Una funzione intera che è limitata deve ridursi a una costante.
Questo teorema si può usare per ottenere una elegante dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.
Un enunciato considerevolmente più stringente del teorema di Liouville è costituito dal piccolo teorema di Picard:
- Una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione.
Un esempio della suddetta eccezione si ha con la funzione esponenziale che assume tutti i valori complessi ad eccezione dello 0.