Sistema input-output

Il Sistema input-output è stato definito da Wassily Leontief analizzando statisticamente le interazioni tra le industrie di una nazione.
L’analisi si basa sulla tavola input-output o tavola delle interdipendenze strutturali e offre una rappresentazione schematica delle relazioni determinate dalla produzione e dalla circolazione (acquisti e vendite) dei beni tra i vari settori in cui si articola un sistema economico e con l'esterno (importazioni ed esportazioni); determina l’impatto sulle industrie fornitrici rispetto a cambiamenti della produzione in una singola industria. Queste tecniche possono essere usate per misurare l’impatto del cambiamento della domanda in qualunque industria sull'intera economia.

Il modello chiuso di Leontief

Nel modello chiuso, introdotto da Leontief nel 1941, si descrivono i flussi di beni e servizi tra tutti i settori di un'economia in un dato arco di tempo. Non vi è distinzione tra settori di produzione e settori di consumo: così come i settori della produzione si scambiano beni e servizi (ad esempio, l'agricultura fornisce materie prime all'industria, ovvero l'industria «consuma» prodotti agricoli: i cosiddetti consumi intermedi), i consumatori forniscono risorse ai settori produttivi (che «consumano» lavoro) e spendono i redditi ricevuti come contropartita nel consumo dei beni e servizi prodotti (cosiddetti consumi finali).

Ad esempio:^[1]

Tabella 1. Modello chiuso semplificato per un'economia a tre settori.

a:	Agricoltura	Industria	Famiglie	Totale
da:
Agricoltura	7,5	6	16,5	30 quintali di grano
Industria	14	6	30	50 metri di stoffa
Famiglie	80	180	40	300 anni-uomo di lavoro

Le righe della tabella mostrano gli output (le erogazioni):

• l'agricoltura produce 30 quintali di grano, di cui 7,5 consumati da se stessa (sementi), 6 dall'industria e 16,5 dalle famiglie (grano, carne, frutta, ecc.);
• l'industria produce 50 metri di stoffa, di cui 14 consumati dall'agricoltura e 6 da se stessa, 30 dalle famiglie;
• le famiglie forniscono in totale 300 anni-uomo (300 uomini impegnati nel lavoro tutto l'anno), di cui 80 all'agricoltura (contadini), 180 all'industria (operai) e 40 a se stesse (lavori domestici).

Le colonne mostrano gli input (le immissioni):

• l'agricultura impiega 7,5 quintali di grano, 14 metri di stoffa e 80 anni-uomo per produrre 30 quintali di grano:
• l'industria impiega 6 quintali di grano, 6 metri di stoffa e 180 anni-uomo;
• le famiglie spendono i loro redditi da lavoro per acquistare 16,5 quintali di grano, 30 metri di stoffa e 40 anni-uomo di lavoro.

Deve esistere un sistema di prezzi che garantisca la possibilità effettiva degli scambi tra i diversi settori; nel caso della Tabella 1 i prezzi sono 20 euro per un quintale di grano, 15 euro per un metro di stoffa, 2 euro per un anno-uomo di lavoro. Si ottiene così la tabella dei valori:

Tabella 2. Modello chiuso semplificato con valori in euro.

a:	Agricoltura	Industria	Famiglie	Totale
da:
Agricoltura	150	120	330	600
Industria	210	90	450	750
Famiglie	240	540	120	900
	600	750	900	2.250

La prima riga mostra che il settore agricolo usa 150 euro del proprio prodotto (utilizzo diretto o scambi tra agricoltori), ne vende parte all'industria per 120 euro ed il resto alle famiglie per 330 euro, con un ricavo complessivo di 600 euro.

La prima colonna mostra che il settore agricolo usa 150 euro del proprio prodotto, 210 euro di prodotti industriali e 240 di lavoro (salari), per un costo complessito di 600 euro.

Analogamente per gli altri settori, che chiudono anch'essi «in pareggio». Ciò consente di iniziare un nuovo ciclo annuale (tutti i settori ricevono gli input necessari per una nuova produzione), che si svolgerà come il precedente. Si dice quindi che i prezzi indicati garantiscono la riproducibilità del sistema economico considerato.

Analiticamente, il prodotto totale dell'i-esimo settore si indica con q_i, la quantità prodotta dall'i-esimo settore e impiegata dal j-esimo si indica con q_ij, il prezzo del prodotto dell'i-esimo settore con p_i. Le due tabelle costituiscono casi particolari dei due sistemi di equazioni lineari:

${\displaystyle {\begin{cases}q_{11}+q_{12}+\dots +q_{1n}=q_{1}\\q_{21}+q_{22}+\dots +q_{2n}=q_{2}\\\dots \\q_{n1}+q_{n2}+\dots +q_{nn}=q_{n}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}q_{11}p_{1}+q_{21}p_{2}+\dots +q_{n1}p_{n}=q_{1}p_{1}\\q_{12}p_{1}+q_{22}p_{2}+\dots +q_{n2}p_{n}=q_{2}p_{2}\\\dots \\q_{1n}p_{1}+q_{2n}p_{2}+\dots +q_{nn}p_{n}=q_{n}p_{n}\end{cases}}}$ 

Da notare che le righe del primo sistema corrispondono alle righe della Tabella 1, mentre le righe del secondo corrispondo alle colonne della Tabella 2 ed esprimono la condizione di «pareggio», cioè di uguaglianza tra il valore degli input di ciascun settore (somma della relativa colonna) e il valore del suo output (somma di riga).

Dividendo la quantità di un prodotto utilizzato in un settore per la quantità totale del prodotto dello stesso settore si ottengono i coefficienti tecnici di produzione:

${\displaystyle a_{ij}={\frac {q_{ij}}{q_{j}}}}$ 

Ad esempio, a₂₁=q₂₁/q₁=14/30=0.4667 ci dice che la produzione di stoffa assorbe il 46,67% del grano complessivamente prodotto dal sistema.

Dividendo ciascuna riga del secondo sistema per le quantità prodotte, si ottiene un nuovo sistema espresso in termini dei coefficienti tecnici di produzione:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}p_{1}+a_{21}p_{2}+\dots +a_{n1}p_{n}=p_{1}\\a_{12}p_{1}+a_{22}p_{2}+\dots +a_{n2}p_{n}=p_{2}\\\dots \\a_{1n}p_{1}+a_{2n}p_{2}+\dots +a_{nn}p_{n}=p_{n}\end{cases}}}$     in forma matriciale:  ${\displaystyle A{\vec {p}}={\vec {p}}}$ 

ovvero:

${\displaystyle {\begin{cases}(a_{11}-1)p_{1}+a_{21}p_{2}+\dots +a_{n1}p_{n}=0\\a_{12}p_{1}+(a_{22}-1)p_{2}+\dots +a_{n2}p_{n}=0\\\dots \\a_{1n}p_{1}+a_{2n}p_{2}+\dots +(a_{nn}-1)p_{n}=0\end{cases}}}$     in forma matriciale:  ${\displaystyle (A-I){\vec {p}}={\vec {0}}}$ 

dove A è la trasposta della matrice quadrata (a_ij) dei coefficienti tecnici di produzione e I è la matrice identità.

L'ultimo è un sistema lineare omogeneo, che ammette soluzioni non banali (diverse da p_i=0 per qualsiasi i) e non negative se 1 è l'autovalore massimo di A. Si può dimostrare che tale condizione sussiste sempre e, pertanto, che il sistema permette di trovare i prezzi che garantiscono la riproducibilità dell'economia.

Il modello chiuso, peraltro, è il modello di un'economia statica che riproduce costantemente se stessa, producendo e consumando sempre le stesse quantità.

Il modello aperto di Leontief

I presupposti teorici delle tavole input-output introducono il c.d. modello di Leontief; questo considera un’economia di scambio (a livello nazionale o regionale) suddivisa in un certo numero di settori produttivi (detti anche branche o industrie) individuati generalmente per tipo omogeneo di prodotto realizzato. Ciascun settore, nel suo insieme, si pone sul mercato con un duplice ruolo: come acquirente dei beni e dei servizi degli altri settori e di forza lavoro che impiega nel processo produttivo, da un lato; come venditore della merce che produce dall’altro.

L’ipotesi di fondo è che ciascun settore produca la merce seguendo un unica ricetta tecnologica che descrive in quali proporzioni i beni di tutti i settori e il lavoro entrino nel processo produttivo del settore in esame. La domanda per impieghi finali viene considerata esogena rispetto alla dinamica dei settori.

Indicando con

• q_i la quantità di merce prodotta dal settore i,
• q_ij la quantità della stessa merce venduta dal settore i al settore j,
• y_i la quantità destinata agli impieghi finali,
• L_j la quantità di lavoro assorbita dall’attività di produzione del settore j,

è possibile raccogliere in una tavola a doppia entrata l’insieme dei valori statistici che descrivono la dinamica degli scambi di un determinato periodo di tempo ove si distingue un corpo principale e cornice destra e cornice inferiore, secondo il seguente schema:

Q	q	y
L

La matrice Q e i vettori y e L rispettano le seguenti identità contabili:

(1) ${\displaystyle q_{i}=\sum _{j}q_{ij}+y_{i}\,}$ 

(2) ${\displaystyle L=\sum _{j}L_{j}\,}$ 

Le equazioni (1) e (2) descrivono come le produzioni totali q_i di ciascun settore e l’occupazione L si ripartiscano, cioè di come lavoro e merci vengano impiegati nella produzione di ciascun settore j ovvero (per le merci) destinate alla domanda finale. Moltiplicando le quantità della (1) per il corrispondente prezzo p_i si possono esprimere in termini monetari i flussi intersettoriali secondo le seguenti trasformazioni:

(3.a) ${\displaystyle x_{ij}=q_{ij}p_{i}\,}$ 

(3.b) ${\displaystyle f_{i}=y_{i}p_{i}\,}$ 

dove p_i indica il prezzo della merce i.

La matrice dei flussi fisici intersettoriali può essere trasformata nella tavola delle transazioni, nella quale si individuano:

• una matrice quadrata X di dimensione n×n dei flussi intermedi: il generico elemento x_ij rappresenta il valore del flusso di beni e servizi che il settore j acquista presso il settore i
• un vettore colonna f della domanda finale: il generico elemento f_i rappresenta il valore della domanda finale del bene prodotto dal settore i
• un vettore riga v del valore aggiunto: il generico elemento v_j costituisce il residuo tra la il valore della produzione del settore j e gli impieghi per l’acquisto dei beni intermedi ad esso necessari. Rappresenta quindi il plusvalore generato dalla produzione del settore j ed è formato tipicamente dalla somma dei salari e dei profitti

inoltre, il passaggio da Q a X consente in generale di ridurre il numero di settori considerati, aggregando insieme due o più settori, consentendo quindi di esaminare l’economia ad un preciso (e desiderato) livello di disaggregazione.

X	f
v

La matrice X e i vettori v e f rispettano le seguenti identità contabili:

(4) ${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}x_{ij}+f_{i}\,}$ 

(5) ${\displaystyle x_{j}=\sum _{i}x_{ij}+v_{j}\,}$ 

La (4) è un’equazione di domanda, simile alla (1): il valore della produzione x_i di un dato settore viene destinata per soddisfare la domanda intermedia (indicati dagli elementi della riga i della matrice X) e la domanda finale f (in valore).

La (5) è un’equazione dei costi, costruita sommando le colonne della il valore della produzione x_j del settore j è dato dalla somma del costo dei fattori (indicati dagli elementi della colonna j della matrice X) più il valore aggiunto v_j determinato in modo residuale.

Dalle (4) e (5) segue una relazione contabile fondamentale che lega il valore complessivo della produzione destinata alla domanda finale al valore aggiunto complessivamente realizzato nel sistema economico:

(6) ${\displaystyle \sum _{i}f_{i}=\sum _{j}v_{j}\,}$ 

La (6) indica per l’appunto l’identità che esiste tra prodotto nazionale (PIL) e valore aggiunto complessivo (reddito nazionale). Per quanto riguarda la parte interindustriale della tavola dei flussi fisici, normalizzando la matrice Q rispetto alla produzione del singolo settore q_j si rende la tavola indipendente dal livello di produzione ottenendo una matrice A di coefficienti tecnici di produzione e un vettore l di coefficienti di lavoro:

(7) ${\displaystyle a_{ij}={\frac {q_{ij}}{q_{j}}}}$ 

(8) ${\displaystyle l_{j}={\frac {L_{j}}{q_{j}}}}$ 

Il generico elemento a_ij misura la quantità della merce i impiegata per la produzione di un’unità di merce j ossia la composizione dei mezzi di produzione e del lavoro che consente al settore j di realizzare la propria produzione. La loro grandezza è determinata principalmente da fattori di ordine tecnologico, in quanto in un reale sistema economico essi mutano lentamente mostrando di risentire relativamente poco delle variazioni nei livelli di produzione settoriale e di rispondere in maniera graduale al manifestarsi del progresso tecnico. La matrice dei coefficienti tecnici [a_ij] e il vettore dei coefficienti del lavoro l_j esprimono la struttura tecnologica del sistema economico ossia la regola specifica di combinazione dei mezzi di produzione nei diversi settori dell’economia.

Determinazione di prodotto e lavoro

Raccogliendo q_j nella (1) è possibile scrivere il c.d. modello aperto di Leontief e di risolverlo rispetto a q in funzione del livello della domanda finale y interpretando così la tavola input-output come modello di equilibrio economico generale, sia pure molto semplificato:

(1.a) ${\displaystyle q_{i}=\sum _{j}a_{ij}q_{i}+y_{i}\,}$ 

(1.b) ${\displaystyle q=Aq+y\,}$ 

dove q è il vettore colonna delle produzioni q_i

(1.c) ${\displaystyle q=(I-A)^{-1}y=By\,\!}$ 

(1.d) ${\displaystyle q_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{i}\,}$ 

La matrice risolvente B viene detta matrice dei requisiti diretti e indiretti, nel senso che il generico coefficiente b_ij indica la quota di produzione di bene j che deve essere impiegata nella produzione del bene i affinché sia resa disponibile alla domanda finale un’unità di bene j. Per come è stata definita la matrice A esiste sempre l'inversa di (I-A).

Una volta determinato il livello della produzione q, l’occupazione complessiva L si determina tramite i coefficienti di lavoro l_i infatti:

(2.a) ${\displaystyle L=\sum _{j}l_{j}q_{j}\,\!}$ 

Determinazione dei prezzi

In maniera del tutto analoga alla relazione che è stata individuata tra domanda finale e produzione complessiva dei diversi settori, è possibile mettere in relazione il valore aggiunto e il prezzo delle merci di ciascun settore produttivo: Da ciascuna delle colonne della tavola delle transazioni risulta infatti che il valore della produzione eguaglia la somma del costo degli impieghi intermedi e del valore aggiunto, cioè

(9) ${\displaystyle p_{j}=\sum _{i}a_{ij}p_{i}+u_{j}\,}$ 

(9.a) ${\displaystyle p=A'p+u\,\!}$ 

dove il vettore u rappresenta il valore aggiunto per unità di prodotto (anziché il valore aggiunto complessivo). Risolvendo il sistema rispetto ai prezzi otteniamo

(9.b) ${\displaystyle p=B'u\,\!}$ 

(9.c) ${\displaystyle p_{j}=\sum _{i}b_{ij}u_{i}\,}$ 

Noti dunque i coefficienti tecnici di produzione e il valore aggiunto settoriale per unità di prodotto, è possibile determinare i prezzi dei beni.

Considerazioni

Sono intuibili le possibilità di impiegare questo modello a fini di programmazione economica: esso consente infatti di studiare gli effetti che modificazioni della composizione e del livello della domanda finale provocano sui livelli di produzione dei diversi settori e sull’occupazione a livello settoriale e complessivo, e di confrontare tali grandezze con la potenzialità produttiva del sistema economico.
Analisi di impatto, analisi dei moltiplicatori, individuazione di filiere di produzione e/o di settori verticalmente integrati dell’economia (regionale), costituiscono alcuni dei più fecondi sviluppi della concezione della tavola come modello economico.
Nell’analisi di impatto, questo modello si presta ad essere utilizzato per valutare l’effetto prodotto da manovre di politica economica che operano facendo variare direttamente le componenti della domanda finale (un programma di investimenti pubblici, per esempio) o per effettuare esercizi di simulazione a scopo previsivo (ad esempio valutazione degli effetti prodotti sul sistema da variazioni sui mercati di esportazione causate da variazioni del tasso di cambio o dall’incremento/decremento delle presenze turistiche).
In genere, però, il modello input-output è suscettibile di essere impiegato ogniqualvolta sia possibile ricondurre le variabili causali in effetti di variazione di una o più delle componenti finali in modo da rendere operante il meccanismo di funzionamento “da domanda finale a produzione” proprio dello schema logico input-output.

Bibliografia

• (EN) Wassily Leontief, The Structure of American Economy 1919-1929, 1ª edizione, Cambridge, Mass., Harvard University Press, 1941; 2ª edizione, New York, Oxford University Press, 1951; la prima edizione contiene solo il modello chiuso, la seconda anche il modello aperto.
• (EN) Wassily Leontief, Input-Output Oconomics, New York, Oxford University Press, 1986, ISBN 0195035259; raccoglie venti articoli scritti tra il 1947 e il 1985.
• Amedeo Amato, Paolo Costa, Interdipendenze industriali e programmazione regionale, Milano, F. Angeli, 1978, ISBN 8820410788
• Luigi Pasinetti, Lezioni di teoria della produzione, Bologna, Il Mulino, 1981, ISBN 8815020357; il Capitolo 4 è dedicato a «Lo schema di Leontief», il Capitolo 2 a «La tavola delle transazioni o delle immissioni-erogazioni» ed al suo utilizzo come complemento e controllo delle rilevazioni di contabilità nazionale.

Voci correlate

• Input
• Output

1. ^ L'esempio è adattato (tradotto) da W. Leontief, «Input-output analysys», in Input-Output Economics, 1986, pp. 19-40.