Assiomi di Peano

Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei i numeri naturali.

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

1. 0 è un numero naturale
2. il successore di un numero naturale è un numero naturale
3. numeri diversi hanno successori diversi
4. 0 non è il successore di alcun numero naturale
5. ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di tutti i suoi elementi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

Significato matematico degli assiomi

In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna ${\displaystyle (\mathbb {N} ,0,S)}$  composta dall'insieme dei numeri naturali ${\displaystyle \mathbb {N} \!}$ , lo zero e la funzione "successore" ${\displaystyle S:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$  può essere caratterizzata a meno di isomorfismi (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti assiomi di Peano:

(P1) ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$ 

(P2) ${\displaystyle x\in \mathbb {N} \Rightarrow S(x)\in \mathbb {N} }$ 

(P3) ${\displaystyle x\neq y}$  implica ${\displaystyle S(x)\neq S(y)}$ 

(P4) ${\displaystyle S(x)\neq 0}$  per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ 

(P5) se ${\displaystyle U}$  è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {N} }$  tale che:

1. ${\displaystyle 0\in \mathbb {U} }$ 
2. ${\displaystyle x\in \mathbb {U} }$  implica ${\displaystyle S(x)\in \mathbb {U} }$ 

allora ${\displaystyle \mathbb {U} =\mathbb {N} }$ 

Analizziamo la funzione di ciascun assioma:

• (P1) ci dice che l'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} \!}$  non è vuoto specificandone un elemento (${\displaystyle 0}$ );
• (P2) afferma l'esistenza di una funzione ${\displaystyle S}$  (la funzione successore) di cui l'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} }$  è dominio e codominio.
• (P3) dice che ${\displaystyle S}$  è una funzione iniettiva; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da ${\displaystyle 0}$  e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;
• (P4) dice che ${\displaystyle 0}$  non è nell'immagine di ${\displaystyle S}$ , questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compie un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.
• (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di Principio di induzione ed è uno strumento molto usato nelle dimostrazioni: quello che ci dice è che l'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} }$  dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo ${\displaystyle 0}$  e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia chiuso rispetto alla funzione successore). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

Unicità del modello a meno di isomorfismi

Abbiamo visto che ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei modelli possibili tagliando fuori via via modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). Ora ci potremmo chiedere: siamo sicuri che i cinque assiomi siano sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e quindi caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o magari occorrono altri assiomi?

Chiamiamo sistema di Peano qualunque terna ${\displaystyle (X,x_{0},s)}$  che soddisfa gli assiomi:

(P1) ${\displaystyle x_{0}\in X}$ 

(P2) ${\displaystyle x\in X\Rightarrow s(x)\in X}$ 

(P3) ${\displaystyle x\neq y}$  implica ${\displaystyle s(x)\neq s(y)}$ 

(P4) ${\displaystyle s(x)\neq x_{0}}$  per ogni ${\displaystyle x\in X}$ 

(P5) se ${\displaystyle U}$  è un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$  tale che:

1. ${\displaystyle x_{0}\in U}$ 
2. ${\displaystyle x\in U}$  implica ${\displaystyle s(x)\in U}$ 

allora ${\displaystyle U=X}$ 

Un sistema di Peano è dunque un modello valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura ${\displaystyle (\mathbb {N} ,0,S)}$ , tuttavia questa non è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da ${\displaystyle (\mathbb {N} ,0,S)}$  si ha prendendo come ${\displaystyle X}$  l'insieme dei numeri pari positivi ${\displaystyle \{2,4,6,...\}}$ , ${\displaystyle x_{0}:=2}$  e ${\displaystyle s(x):=x+2}$ .

Un isomorfismo tra due sistemi di Peano ${\displaystyle (A,a_{0},s)}$  e ${\displaystyle (B,b_{0},t)}$  è una biiezione ${\displaystyle f:A\to B}$  tale che:

• manda ciascuno dei due "zeri" nell'altro, cioè ${\displaystyle f(a_{0})=b_{0}}$  e
• manda elementi "successivi" in elementi "successivi", cioè ${\displaystyle f(s(a))=t(f(a))}$ .
  

Con queste definizioni siamo in grado di dare una risposta alla domanda iniziale: la risposta è positiva, gli assiomi sono sufficienti a dare una caratterizzazione univoca, cioè non esistono modelli non isomorfi alla struttura dei numeri naturali. E' ciò che afferma il

Teorema di Categoricità: Tutti i sistemi di Peano sono isomorfi al sistema ${\displaystyle (\mathbb {N} ,0,S)}$ .

Dimostrazione: un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano ${\displaystyle (A,a_{0},s)}$  e il sistema ${\displaystyle (\mathbb {N} ,0,S)}$  si ha considerando la biiezione ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$  definita da:

${\displaystyle 0\mapsto a_{0}}$ 

${\displaystyle 1\mapsto s(a_{0})}$ 

${\displaystyle 2\mapsto s(s(a_{0}))}$ 

...

${\displaystyle n\mapsto s(s(...s(s(a_{0}))...))}$  con ${\displaystyle n}$  composizioni di ${\displaystyle s}$ .${\displaystyle \square }$ 

Gli assiomi di Peano sono "ridondanti"?

Un'altra domanda che ci possiamo porre è se gli assiomi di Peano possano essere "ridondanti", se cioè qualcuno di essi sia dimostrabile a partire dagli altri. La risposta è no: non c'è alcuna ridondanza. Lo si può dimostrare esibendo delle terne ${\displaystyle (X,x_{0},S)}$  dove uno degli assiomi di Peano non venga soddisfatto e ${\displaystyle X}$  non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

• Eliminando (P1), possiamo prendere per ${\displaystyle X}$  l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.
• Eliminando (P2), abbiamo un modello dove ${\displaystyle 0}$  e ${\displaystyle S}$  restano le stesse, ma ${\displaystyle X=\{0,1,2,3,4,5\}}$  è dato dai numeri minori di ${\displaystyle 6}$ , e quindi il codominio di ${\displaystyle S}$  è dato da ${\displaystyle X\cup \{6\}}$ . È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perché non esiste nessun sottoinsieme di ${\displaystyle X}$  che contenga lo ${\displaystyle 0}$  e che sia chiuso rispetto ad ${\displaystyle S}$ .
• Eliminando (P3), un modello è quello dove ${\displaystyle X}$  è composto da ${\displaystyle \{0,1\}}$ , e S è la funzione che manda ${\displaystyle n}$  in ${\displaystyle \max(n,1)}$ .
• Eliminando (P4), le classi di resto modulo ${\displaystyle m}$ , con la funzione successore data da ${\displaystyle n\mapsto n+1}$  (mod ${\displaystyle m}$ ), danno un esempio pratico.
• Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i razionali positivi ${\displaystyle \mathbb {Q} \!^{+}}$ , mantenendo ${\displaystyle 0}$  e lasciando come funzione successore l'usuale ${\displaystyle n\mapsto n+1}$ .

Ruolo nella logica matematica

Gli assiomi di Peano appartengono alla logica dei predicati del secondo ordine poichè il quinto assioma richiede un uso di quantificatori sia per gli oggetti sia per i sottoinsiemi di oggetti. Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della logica dei predicati del primo ordine che viene generalmente chiamata con l'acronimo PA (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella teoria della calcolabilità e nella logica matematica per la sua capacità di rappresentare tutte le funzioni ricorsive e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il teorema di Gödel.