Lagrangiana

Disambiguazione – Se stai cercando la Lagrangiana in ottimizzazione non lineare, vedi Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

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La lagrangiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi _{i}]}$ di un sistema dinamico è un funzionale delle variabili dinamiche ${\displaystyle \ \phi _{i}(s)}$ che descrive concisamente le equazioni del moto del sistema, che si ottengono attraverso il principio di minima azione, scritto come

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi _{i}}}=0}$

dove

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\phi _{i}(s)]{}\,d^{n}s}}$,

definisce l'azione del sistema, con ${\displaystyle s_{\alpha }\!}$ che denota l'insieme dei suoi parametri dinamici.

Le equazioni del moto ottenute per mezzo della derivata funzionale sono identiche alle usuali equazioni di Eulero-Lagrange: un sistema dinamico le cui equazioni del moto siano ottenibili applicando il principio di minima azione su una determinata lagrangiana è definito sistema dinamico Lagrangiano. Esempi di tali sistemi dinamici vanno dalle leggi del moto al Modello standard, a problemi puramente matematici come le equazioni geodediche e il problema di Plateau.

Un esempio dalla meccanica classica

Il concetto di Lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come meccanica lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla somma fra l'energia cinetica e l'energia potenziale di un sistema meccanico.

Supponiamo di avere uno spazio tridimensionale e la lagrangiana

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}})}$ 

Allora l'equazione di Eulero-Lagrange è

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0}$ 

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la quantità che viene derivata.

Sfruttando il risultato sopra, possiamo mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale:

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$ 

quindi l'equazione risultante è

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}$ 

esattamente la stessa equazione in un approccio newtoniano per un oggetto di massa costante; una deduzione molto simile a questa ci dà l'espressione

${\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}$ 

che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.

Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in coordinate sferiche r, θ, φ; la forma della lagrangiana allora sarà

${\displaystyle {\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$ 

La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è:

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0}$ 

Qui l'insieme di parametri dinamici s_i sono ridotti al solo tempo t, mentre le variabili dinamiche φ(s) sono le traiettorie ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$  delle particelle scritte in coordinate polari.

Lagrangiana e densità di Lagrangiana in teoria dei campi

In teoria dei campi, viene fatta una distinzione tra la Lagrangiana ${\displaystyle L}$  il cui integrale nel tempo è l'azione

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {L\,\mathrm {d} t}}$ 

e la densità di Lagrangiana ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , il cui integrale su tutto lo spazio tempo è l'azione

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}}$ 

La Lagrangiana è quindi l'integrale spaziale della densità di Lagrangiana. Tuttavia ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  è spesso chiamata semplicemente Lagrangiana, specialmente nell'uso moderno; è molto utile in teorie relativistiche poiché è un campo scalare locale.

Formalismo matematico

Supponiamo di avere una varietà n-dimensionale M e una varietà "bersaglio" T. Sia ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  lo spazio delle configurazioni delle funzioni regolari da M a T.

Prima di continuare diamo alcuni esempi:

• Nella meccanica classica, M è la varietà monodimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato tangente dello spazio delle posizioni generalizzate.
• Nella teoria dei campi, M è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato; per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali, φ₁,...,φ_m, allora la varietà bersaglio è ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ . Se il campo è un campo vettore reale, allora la varietà bersaglio è isomorfa a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Ci sarebbe un modo molto più elegante usando il legamento tangente su M, ma ci atterremo a questa versione.

Ora, supponiamo esista un funzionale, ${\displaystyle S:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }$ , detto azione. Si noti che questo sarebbe una mappatura su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , non su ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , per motivi fisici.

Affinché l'azione sia locale, è necessario imporre ulteriori restrizioni sull'azione. Se ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}}$ , noi assumiamo che S(φ) sia l'integrale su M di una funzione di φ, la sua derivata, e che la posizione sia chiamata lagrangiana, ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x)}$ . In altre parole,

${\displaystyle \forall \phi \in {\mathcal {C}}\,S[\phi ]\equiv \int _{M}d^{n}x{\mathcal {L}}(\phi (x),\partial \phi (x),\partial \partial \phi (x),...,x)}$ .

La maggior parte delle volte noi assumeremo anche che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, ma non dalle altre: tuttavia questo non è vero in generale, ma solo una questione di convenienza. Manterremo questa assunzione per tutto il resto di questo articolo.

Date le condizioni al contorno, sostanzialmente specificando il valore di φ al bordo di M, se questo è compatto o fornendo alcuni limiti su φ quando x tende all'infinito (questo ci aiuterà nell'integrazione per parti), possiamo denotare il sottoinsieme di ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  che consiste di funzioni φ tali che tutte le derivate funzionali di S su φ sono nulle e φ soddisfa le condizioni al contorno date.

La soluzione è fornita dalle equazioni di Eulero-Lagrange (grazie alle condizioni al contorno)

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0}$ .

Osserviamo che il membro sinistro è la derivata funzionale (cambiata di segno) dell'azione rispetto a φ.

Voci correlate

• Meccanica lagrangiana
• Teorema di Noether
• Hamiltoniana
• Derivata funzionale
• Integrale funzionale
• principio d'azione
• Lagrangiana di Proca

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