Criterio di Sylvester

Il criterio di Jacobi è un teorema di algebra lineare, che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica o un prodotto scalare siano definiti positivi.

Il criterio

Sia ${\displaystyle A}$  una matrice simmetrica reale ${\displaystyle n\times n}$  (i cui valori sono cioè numeri reali). Per ${\displaystyle i=1,\ldots n}$ , sia ${\displaystyle d_{i}}$  il determinante del minore ottenuto cancellando da ${\displaystyle A}$  le ultime ${\displaystyle n-i}$  righe e le ultime ${\displaystyle n-i}$  colonne.

Il criterio di Jacobi asserisce che:

La matrice ${\displaystyle A}$  è definita positiva se e solo se ${\displaystyle d_{i}>0}$  per ogni ${\displaystyle i}$ .

Esiste un analogo criterio per testare le matrici definite negative, e cioè:

La matrice ${\displaystyle A}$  è definita negativa se e solo se ${\displaystyle (-1)^{i}d_{i}>0}$  per ogni ${\displaystyle i}$ , cioè se e solo se i minori di ordine dispari sono negativi e quelli di ordine pari sono positivi.

Esempio

La matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{pmatrix}}}$ 

è definita positiva, in quando i determinanti

${\displaystyle \det(2)=2,\ \det {\begin{pmatrix}2&2\\2&5\end{pmatrix}}=6,\ \det {\begin{pmatrix}2&2&1\\2&5&0\\1&0&1\end{pmatrix}}=1}$ 

sono tutti positivi.

Voci correlate

• Segnatura
• Teorema di Sylvester

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