ポアソン分布

統計学および確率論では、ポアソン分布 (Poisson distribution) は、所与の時間間隔で発生する離散的な事象を数える特定の確率変数 N を持つ離散確率分布であり、シメオン・ドニ・ポアソンが1838年に自身の論文の中で、確率論とともに発表した。単位時間中に平均で ${\displaystyle {\lambda }}$ 回発生する事象がちょうど k 回（k は0を含む自然数、k = 0, 1, 2, ...）発生する確率は、次式で表される。

${\displaystyle P(N=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$

ここで、

• ${\displaystyle {e^{}}}$ はネイピア数 (${\displaystyle {e^{}}}$ = 2.71828...)、
• ${\displaystyle {k!}}$ は ${\displaystyle {k}}$ の階乗、
• ${\displaystyle {\lambda }}$ は正の実数、所与の区間内で発生する事象の期待発生回数に等しい。例えば、事象が平均で2分間に1回発生する場合、10分間の中で事象が発生する回数は、${\displaystyle {\lambda }=5}$ のポアソン分布モデルを使って求められる。

ポアソン過程

${\displaystyle {\lambda }}$  は、単位時間当たりの事象の平均発生回数などの割合と見なされる場合がある。このとき、N_t を時刻 t より前に発生した事象の回数とすると、

${\displaystyle P(N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{k}}{k!}}}$ 

さらに、最初の事象が発生するまでの待機時間 T は、指数分布による連続確率変数である。この確率分布は、次のように導くことができる。

${\displaystyle P(T>t)=P(N_{t}=0)}$ 

時間を含む場合、すなわち1次元ポアソン過程では、各時間内で事象が発生する回数を確率変数とする離散ポアソン分布と、待機時間を確率変数とする連続アーラン分布の両方を含んでいる。1よりも高い次元のポアソン過程についても同様である。

事象

ポアソン分布は、ポアソン過程に関連して発生する。 これは、離散的な自然現象（所与の領域内や所与の時間内において、0回、1回、2回、3回… と発生する現象）に該当するものであり、現象が発生する確率は、時間ないし空間内において一定である。次に、その例を示す。

• 1時間に特定の交差点を通過する車両の台数。
• 1ページの文章を入力するとき、綴りを間違える回数。
• 1日に受け取る電子メールの件数。
• 1分間のWebサーバへのアクセス数。
  • 例えば、1時間あたりのウィキペディアの最近更新したページの編集数もおおよそポアソン分布。
• 1マイルあたりのある通り沿いのレストランの軒数。
• 1ヘクタールあたりのエゾマツの本数。
• 1立方光年あたりの恒星の個数。
• 1週間あたりの米軍の死亡者数。
• 軍隊内における馬に蹴られて死亡する兵士の数

極限定理

パラメータが n と λ/n である二項分布において、λ を一定に保ったまま n を無限大に近づけると、その分布は平均 λ のポアソン分布に近づく。

詳細を次に示す。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda }}$ 

p = λ/n とすると、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(X=k)=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({n \over n}\right)\left({n-1 \over n}\right)\left({n-2 \over n}\right)\cdots \left({n-k+1 \over n}\right)} \underbrace {\left({\lambda ^{k} \over k!}\right)} \underbrace {\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}} \underbrace {\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}} }$ 

n を無限大に近づけると、4つの ${\displaystyle \underbrace {\mathrm {} } }$  のうち最初の下波括弧の部分は、1に近づく。2番目の下波括弧の部分には n が出現しないので、そのままである。3番目の下波括弧の部分は、e^−λ; に近づく。最後の下波括弧の部分は、1に近づく。

したがって極限は存在し、

${\displaystyle {\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}}$ 

性質

ポアソン分布の平均および分散は、λ に等しい。ポアソン分布の高次モーメントは、λ を含むトゥシャール多項式であり、二項係数を持つ。

ポアソン分布の最頻値は、λ 以下の最大の整数である。

λ が十分に大きい（一般に λ > 1000 といわれている）ならば、平均 ${\displaystyle \lambda }$ 、標準偏差 ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$  の正規分布はこのポアソン分布の非常に優れた近似となる。おおよそ λ > 10 であれば、適切な連続修正がなされている場合に限り、正規分布はこのポアソン分布の優れた近似となる。例えば P(X ≤ x) に関して、x が非負の整数ならば、P(X ≤ x + 0.5)と置換することができる。

N と M が独立な確率変数であり、それぞれパラメータ λ、μ を持つポアソン分布に従うとき、 N + M はパラメータ λ + μ のポアソン分布に従う（再生性）。

平均 λ のポアソン分布の積率母関数は、

${\displaystyle E\left(e^{tX}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}P(X=k)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}{\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}=e^{\lambda (e^{t}-1)}}$ 

ポアソン分布のキュムラントは全て、平均 λ と等しい。ポアソン分布のn 次の階乗モーメントは λⁿ である。

ポアソン分布は無限分解可能な確率分布である。

少数の法則

法則という言葉は、確率分布の同義語として使われることがあり、法則収束は分布の収束を意味する。したがってポアソン分布は、滅多に起こり得ない希少な事象の発生数の確率分布であることから、少数の法則と呼ばれている。

関連項目

• 複合ポアソン分布
• ポアソン過程
• アーラン分布