Versore

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Vengono spesso utilizzati i versori associati agli assi cartesiani nel piano

${\displaystyle {\hat {\imath }}=\left({\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right)\qquad }$ ${\displaystyle {\hat {\jmath }}=\left({\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right)}$

e nello spazio tridimensionale

${\displaystyle {\hat {\imath }}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)\qquad }$ ${\displaystyle {\hat {\jmath }}=\left({\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}}\right)\qquad }$ ${\displaystyle {\hat {k}}=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)}$ .

In modo analogo vengono definiti i versori ${\displaystyle {\hat {e}}_{r}}$ ed ${\displaystyle {\hat {e}}_{\theta }}$ che in ogni punto dello spazio indicano rispettivamente la direzione radiale e angolare riguardanti le coordinate polari ed i versori ${\displaystyle {\hat {t}}}$ ed ${\displaystyle {\hat {n}}}$, che indicano rispettivamente la direzione tangente e normale in ogni punto di una data traiettoria.

Dato un qualunque vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

${\displaystyle {\hat {v}}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}}$

Derivata di un versore

Sia v un versore. Dalla definizione di prodotto scalare e di modulo si ottiene la relazione

${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ 

Derivando membro a membro, e ricordando che il modulo di un versore è costante, e quindi ha derivata nulla, risulta:

${\displaystyle \mathbf {v'} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \mathbf {v'} =2\left(\mathbf {v'} \cdot \mathbf {v} \right)=0\Longleftrightarrow \mathbf {v'} \cdot \mathbf {v} =0}$ 

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di v'·v, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non e' un versore, per dimostrarlo basta considerare il versore in coordinate polari :

${\displaystyle {\hat {v}}(t)=\cos(\theta (t)){\hat {i}}+\sin(\theta (t)){\hat {j}}}$ 

derivando rispetto a t si ottiene :

${\displaystyle {\hat {v}}'(t)=\theta '(t)(-\sin(\theta (t)){\hat {i}}+\cos(\theta (t)){\hat {j}})}$ 

dove il termine

${\displaystyle (-\sin(\theta (t)){\hat {i}}+\cos(\theta (t)){\hat {j}})}$ 

è il versore ortogonale di modulo unitario,

e dove il termine :

${\displaystyle \theta '(t)}$ 

è in generale diverso dall'unità.

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