Numero complesso

Con l'espressione numero complesso si intende la somma di un numero reale e di un numero immaginario (cioè un multiplo reale dell'unità immaginaria, indicata con la lettera i ). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (e notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.

In matematica, i numeri complessi formano un campo e sono generalmente visualizzati come punti del piano, detto piano complesso. La proprietà più importante che caratterizza i numeri complessi è il teorema fondamentale dell'algebra, che asserisce che qualunque equazione polinomiale di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.

Introduzione informale

L'unità immaginaria

Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi per rispondere all'esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi.

I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione

${\displaystyle x^{2}=-1\,}$ 

non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

Si definisce allora il valore ${\displaystyle i}$ , chiamato anche unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$ 

e dunque:

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}\,}$ 

I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:

${\displaystyle a+ib\,}$ 

dove ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  sono numeri reali, mentre ${\displaystyle i}$  è l'unità immaginaria.

Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale, usando il fatto che ${\displaystyle i^{2}=-1}$ .

Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso ${\displaystyle a+ib}$  si associa il punto di coordinate cartesiane ${\displaystyle (a,b)}$ .

Equazioni con soluzioni non reali

Usando la relazione ${\displaystyle i^{2}=-1}$  si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\;}$ 

incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di discriminante negativo:

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac<0.\,\!}$ 

Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$ 

che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:

${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}={\sqrt {(-1)(-\Delta )}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-\Delta }}=i{\sqrt {-\Delta }}.}$ 

Ad esempio:

${\displaystyle x^{2}+4x+8=0\,\!\Rightarrow x={\frac {-4\pm {\sqrt {16-32}}}{2}}={\frac {-4\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {-4\pm i{\sqrt {16}}}{2}}=-2\pm 2i.}$ 

Cenni storici

  Lo stesso argomento in dettaglio: Storia dei numeri complessi.

I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia. Alcuni sostengono che i numeri complessi furono utilizzati per la prima volta da Girolamo Cardano mentre studiava la risoluzione di equazioni cubiche. Cardano scrisse a Tartaglia dei suoi risultati che non reagì in modo positivo vedendo gli sviluppi geniali del suo collega e lo accusò di avergli copiato alcune idee. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.

Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVI secolo li chiamò "numeri immaginari". Abraham de Moivre ed Eulero nel XVIII secolo iniziarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.

Terminologia

In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e l'algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso e il teorema spettrale complesso.

Definizione moderna

Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali ${\displaystyle (a,b)}$ . Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),\,}$ 

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,}$ 

Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con ${\displaystyle \mathbb {C} }$  oppure con C.

Il numero complesso ${\displaystyle (a,0)}$  viene identificato con il numero reale ${\displaystyle a}$ , mentre il numero ${\displaystyle (0,1)}$  è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera ${\displaystyle i}$ . L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:

${\displaystyle i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.\,}$ 

Ogni numero complesso ${\displaystyle z=(a,b)}$  si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:

${\displaystyle z=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.\,}$ 

I numeri a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z. Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:

${\displaystyle (2+4i)(1-i)=2(1-i)+4i(1-i)=2-2i+4i-4i^{2}=2+2i-4(-1)=6+2i.\,}$ 

Definizioni alternative

Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali.

Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio ${\displaystyle x^{2}+1}$ :

${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1).}$ 

Questo è effettivamente un campo perché ${\displaystyle x^{2}+1}$  è irriducibile. L'immagine del polinomio ${\displaystyle x}$  in questo anello quoziente è l'unità immaginaria ${\displaystyle i}$ .

Geometria

  Lo stesso argomento in dettaglio: Rappresentazione dei numeri complessi e Piano complesso.

 

Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand. Nella figura si vede che

${\displaystyle z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ 

essendo ${\displaystyle \cos \varphi }$  e ${\displaystyle \sin \varphi }$  funzioni trigonometriche. Le formule inverse per ${\displaystyle x>0}$  sono:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ 

${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}}$ 

Per ${\displaystyle x<0}$  vale invece l'uguaglianza:

${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi }$ 

Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere ${\displaystyle z}$  come

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$ 

tramite la funzione esponenziale. Qui ${\displaystyle r}$  è il modulo (o valore assoluto o norma) e ${\displaystyle \varphi }$  è l'argomento di ${\displaystyle z}$ . L'argomento è determinato da ${\displaystyle z}$  se è inteso nell'intervallo ${\displaystyle [0,2\pi )}$ , altrimenti è definito solo a meno di somme con ${\displaystyle 2k\pi }$  per qualche intero ${\displaystyle k}$ .

Operazioni con i numeri complessi

Modulo e distanza

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,\!}$ 

Il valore assoluto (modulo) ha le proprietà seguenti:

${\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|,\,\!}$ 

${\displaystyle |zw|=|z||w|,\,\!}$ 

${\displaystyle |z/w|=|z|/|w|\,\!}$  se ${\displaystyle w\neq 0}$ ,

valide per tutti i numeri complessi ${\displaystyle z}$  e ${\displaystyle w}$ .

La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.

La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da

${\displaystyle d(z,w)=|z-w|\,\!}$ .

Coniugato

  Lo stesso argomento in dettaglio: Complesso coniugato.

Il complesso coniugato del numero complesso ${\displaystyle z=a+ib}$  è definito come

${\displaystyle {\bar {z}}=a-ib.}$ 

A volte è anche indicato come ${\displaystyle z^{*}}$ . Nel piano complesso ${\displaystyle {\bar {z}}}$  è ottenuto da ${\displaystyle z}$  per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:

${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}},}$ 

${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}},}$ 

${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}},}$ 

${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z,}$ 

${\displaystyle {\bar {z}}=z\Leftrightarrow z\in \mathbb {R} ,}$ 

${\displaystyle |z|=|{\bar {z}}|,}$ 

${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}},}$ 

Inverso

  Lo stesso argomento in dettaglio: Inverso di un numero complesso.

Conoscendo il valore assoluto ed il coniugato di un numero complesso ${\displaystyle z\neq 0}$  è possibile calcolare il suo inverso ${\displaystyle z^{-1}}$  attraverso la formula:

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$ 

Ovvero, se ${\displaystyle z=a+ib}$  otteniamo

${\displaystyle z^{-1}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}.}$ 

Somma algebrica

Valgono le relazioni

${\displaystyle (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d),\,\!}$ 

${\displaystyle (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).\,\!}$ 

La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.

Prodotto

Vale

${\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad)\,\!}$ 

Usando la rappresentazione

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,\!}$ 

e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi

${\displaystyle z_{1}=r_{1}e^{i\theta _{1}},\quad z_{2}=r_{2}e^{i\theta _{2}}\,\!}$ 

assume la forma più agevole

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\cdot r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.}$ 

In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.

Questa affermazione consente di dimostrare la Regola dei segni del prodotto: – • – = + . Difatti se si considera che l’argomento di un numero reale negativo è 180°, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l’argomento di un numero reale positivo.

Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento ${\displaystyle i}$  produce una rotazione di 90° del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per ${\displaystyle i}$  e poi ancora per ${\displaystyle i}$  produce una rotazione di 180°; ciò è logico visto che ${\displaystyle i^{2}=-1}$ .

Rapporto

Il rapporto fra due numeri complessi ${\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}i}$  e ${\displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}i}$  è dato da:

${\displaystyle {z_{1} \over z_{2}}={a_{1}+b_{1}i \over a_{2}+b_{2}i}={(a_{1}+b_{1}i) \over (a_{2}+b_{2}i)}{(a_{2}-b_{2}i) \over (a_{2}-b_{2}i)}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})i}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.}$ 

Usando la rappresentazione

${\displaystyle z=re^{i\theta },\,\!}$ 

il rapporto di due numeri complessi è

${\displaystyle {\frac {r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}.}$ 

Potenze

Rappresentando ogni numero complesso come

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,\!}$ 

è facile descrivere la potenza ${\displaystyle n}$ -esima

${\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{ni\theta }\,\!}$ 

per ogni ${\displaystyle n}$  intero. Con una notazione lievemente differente:

${\displaystyle z=|z|(cos\theta +isen\theta )\,\!}$ 

Si ottiene la formula di De Moivre:

${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(cos(n\theta )+isen(n\theta ))\,\!}$ 

La potenza di un numero complesso non ha senso se ${\displaystyle n}$  non è intero. Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente ${\displaystyle n}$  radici n-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Radice dell'unità.

Esempio

Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che ${\displaystyle 4z^{2}={\bar {z}}^{4}}$ .

La prima possibilità è quella di porre ${\displaystyle z=a+ib}$  e di uguagliare la parte reale di ${\displaystyle 4z^{2}}$  alla parte reale del coniugato di ${\displaystyle z^{4}}$  e analogamente per le rispettive parti immaginarie.

Deve risultare contemporaneamente:

${\displaystyle ab(a^{2}-b^{2}+2)=0}$  e

${\displaystyle a^{4}+b^{4}-6(ab)^{2}=4(a^{2}-b^{2})}$ 

da cui: ${\displaystyle z=0,z=-2,z=2,z=i{\sqrt {3}}+1,z=-i{\sqrt {3}}+1,z=i{\sqrt {3}}-1,z=-i{\sqrt {3}}-1}$ 

Se invece poniamo ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$  basta uguagliare le norme e gli argomenti di ${\displaystyle 4z^{2}}$  e del coniugato di ${\displaystyle z^{4}}$ . Ricordiamo che la norma del prodotto è il prodotto delle norme e che la norma di un numero reale coincide con il suo valore assoluto. L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti e l'argomento di un numero reale è nullo. L'argomento del coniugato di un numero complesso ${\displaystyle z}$  è l'opposto dell'argomento di ${\displaystyle z}$ . Naturalmente l'argomento di un numero complesso è sempre definito a meno di multipli di ${\displaystyle {2\pi }}$ . Tenendo conto di ciò otteniamo le relazioni

${\displaystyle 4r^{2}=r^{4}}$  e

${\displaystyle 6\varphi ={2k\pi }}$  con k=0,1,...,5

Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio ${\displaystyle z=i{\sqrt {3}}+1=2e^{i{\pi }/3}}$ .

Alcune proprietà

Perdita dell'ordinamento

Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che

${\displaystyle a<b,s>0\Rightarrow as<bs,\,\!}$ 

${\displaystyle a<b,s<0\Rightarrow as>bs,\,\!}$ 

${\displaystyle a<b\Rightarrow a+c<b+c\,\!}$ 

come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se ${\displaystyle i}$  è maggiore o minore di 1, né studiare disequazioni nel campo complesso.

Dimostrazione della mancanza di ordinamento

Siano ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  due numeri complessi, con ${\displaystyle a<b.}$  Si moltiplichino entrambi i membri della disequazione per ${\displaystyle i}$  (l'unità immaginaria) due volte:

i·i·a < i·i·b.

Dato che, per definizione, ${\displaystyle i^{2}=-1}$  si ottiene:

${\displaystyle -a<-b.}$ 

Si sommi ad entrambi i membri l'espressione ${\displaystyle (a+b)}$ :

${\displaystyle (a+b)-a<(a+b)-b,}$ 

si eliminano le parentesi e i termini opposti e si ottiene

${\displaystyle b<a.}$ 

Questo è un risultato in contraddizione con la premessa quindi non può essere definito in generale un ordinamento nei numeri complessi.

Spazio dei vettori reali

C è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso ad una dimensione (come tutti i campi), ed uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert.

Soluzioni delle equazioni polinomiali

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale dell'algebra.

Una radice complessa di un polinomio p a coefficienti reali è un numero complesso z tale che p(z)=0. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un campo algebricamente chiuso.

Analisi complessa

Lo studio delle funzioni con variabili complesse è chiamata analisi complessa ed è usatissima nella matematica applicata e nella teoria dei numeri oltre che in altre branche della matematica. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente delle funzioni reali che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore rappresenta la dimensione mancante. Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.

Applicazioni

In matematica

I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'analisi complessa o la geometria algebrica. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.

• Teoria dei numeri: La teoria dei numeri analitica usa l'analisi complessa per affrontare problemi sui numeri interi. Alcuni esempi sono il teorema dei numeri primi e la collegata ipotesi di Riemann.

• Integrali impropri: Alcuni integrali impropri possono essere risolti agevolmente con il teorema dei residui dell'analisi complessa.

• Equazioni differenziali: Le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti si risolvono trovando le radici complesse di un polinomio associato all'equazione.

• Frattali: Alcuni frattali sono definiti tramite i numeri complessi, per esempio l'insieme di Mandelbrot e l'insieme di Julia.

In fisica

• Dinamica dei fluidi: Nella dinamica dei fluidi i numeri complessi vengono utilizzati per descrivere il flusso potenziale in 2 dimensioni.

• Meccanica Quantistica: Il campo dei numeri complessi è una componente essenziale della meccanica quantistica dato che la teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita derivato da C. L'unità immaginaria compare anche nell'equazione di Schrödinger.

• Relatività: Nella relatività generale e relatività speciale alcune formule dello spazio metrico diventano più semplici se si suppone la variabile temporale come una variabile immaginaria.

Ingegneria

Analisi dei segnali

I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |z| è interpretato come la ampiezza del segnale mentre l'argomento di z è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-variante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso

${\displaystyle f(t)=ze^{j\omega t}\,}$ 

dove ω è la pulsazione della sinusoide e z la sua ampiezza.

Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano j = -i, cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. La cosa non creò problemi né agli ingegneri né ai matematici, che non lavoravano praticamente mai insieme; a volte tuttavia i fisici si trovarono a dover correggere strani errori di segno nei loro calcoli, se usavano formule prese da libri di elettrotecnica.^{[senza fonte]} Attualmente, la stragrande maggioranza delle volte con j ormai nella letteratura tecnica si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j=i

Bibliografia

• (EN) An Imaginary Tale, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0691027951 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.

Collegamenti esterni

• (AR) (EN) (ES) (FR) Dimensions: a math film. Film introduttivo sui numeri complessi (capitoli 5 e 6).
• Numeri Complessi. Una lezione interattiva

Voci correlate

• Complesso coniugato
• Fasore
• Formula di De Moivre
• Identità di Eulero
• Inverso di un numero complesso
• Leonhard Euler
• Caspar Wessel
• Jean-Robert Argand
• Carl Friedrich Gauss
• Numero ipercomplesso
• Piano complesso
• Quaternione
• Numero duale
• Numero complesso iperbolico
• Radice dell'unità
• Rappresentazione dei numeri complessi
• Storia dei numeri complessi
• Teorema fondamentale dell'algebra

Altri progetti

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