Merge sort
Il merge sort è un algoritmo di ordinamento molto intuitivo e abbastanza rapido, che utilizza un processo di risoluzione ricorsivo.
L'idea alla base del merge sort è il procedimento Divide et Impera, che consiste nella suddivisione del problema in sottoproblemi via via più piccoli.
Il merge sort opera quindi dividendo l'insieme da ordinare in due metà e procedendo all'ordinamento delle medesime ricorsivamente. Quando si sono divise tutte le metà si procede alla loro fusione (merge appunto) costruendo un insieme ordinato.
L'algoritmo fu inventato da John von Neumann nel 1945.
Fase 1: Divide
L'insieme di elementi viene diviso in 2 metà. Se l'insieme è composto da un numero dispari di elementi, viene diviso in 2 sottogruppi dei quali il primo ha un elemento in meno del secondo.
Es. 11 => 5 e 6
Fase 2: Impera
Supponendo di avere due sequenze già ordinate, per unirle, l'algoritmo mergesort estrae ripetutamente il minimo delle due sequenze in ingresso e lo pone in una sequenza in uscita.
Dati un array e due indici x ≤ y, denotiamo la porzione dell'array A costituita dagli elementi .
![{\displaystyle {\mathit {A[x;y]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6519a83ca46d831f052be43c09fb0e81ced8eb72)
![{\displaystyle {\mathit {A[x]...A[y]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e46689cf161b16eecb91defa4e7692706d9b491)
Esempio pratico
Supponiamo di dover ordinare il seguente array:
10 3 15 2 1 4 9 0
Si procede dividendolo in metà successive, fino ad arrivare a coppie:
10 3 15 2 1 4 9 0
A questo punto si fondono (merge) in maniera ordinata gli elementi, riunendo le metà:
10 3 -> 3 10 15 2 -> 2 15 1 4 -> 1 4 9 0 -> 0 9
Al passo successivo:
3 10 2 15 -> 2 3 10 15 1 4 0 9 -> 0 1 4 9
Infine:
2 3 10 15 0 1 4 9 -> 0 1 2 3 4 9 10 15
L'esecuzione ricorsiva all'interno del calcolatore non avviene nell'ordine descritto sopra, ma si è preferito formulare l'esempio in questo modo in maniera da renderlo più comprensibile.
Modalità di implementazione
Esistono vari tipi di implementazione del mergesort.
Metodo Top-Down
Corrisponde a quello presentanto in questa pagina, che opera da un insieme A e lo divide in sotto insiemi (A1, A2) fino ad arrivare all'unità per poi riunire le parti scomposte
Metodo Bottom-Up
Consiste nel considerare l'insieme A come composto da un vettore di n sequenze. Ad ogni passo fondo insieme due sequenze.
Riproponendo l'esempio sopra la sequenza dei passi diventa:
10 3 15 2 1 4 9 0
Primo passo, ho n sequenze distinte:
10 3 15 2 1 4 9 0
Secondo passo, unisco le sequenze due a due:.
3 10 2 15 1 2 9 4 0
Terzo passo, continuo ad unire le sequenze due a due
2 3 10 15 1 2 4 9 0
Ho ancora più di una sequenza diversa, quindi continuo ad unire
1 2 2 3 4 9 10 15 0
0 1 2 2 3 4 9 10 15
A questo punto è rimasta una sola sequenza che è quella finale
merge (a[], left, center, right)
i ← left
j ← center + 1
k ← 0
while ((i <= center) && (j <= right)) do
if (a[i] <= a[j])
then
b[k] ← a[i]
i ← i + 1
else
b[k] ← a[j]
j ← j + 1
k ← k + 1
end while
while (i <= center) do
b[k] ← a[i]
i ← i + 1
k ← k + 1
end while
while (j <= right) do
b[k] ← a[j]
j ← j + 1
k ← k + 1
end while
for k ← left to right do
a[k] ← b[k - left]
mergesort (a[], left, right)
if (left < right) then
center ← (left + right) / 2
mergesort(a, left, center)
mergesort(a, center+1, right)
merge(a, left, center, right)
Analisi delle prestazioni
Il tempo di esecuzione dell'algoritmo Merge Sort è Θ(n log n). Infatti:
- la funzione merge ha costo Θ(n), e mergesort richiama se stessa due volte ogni volta su metà della porzione di input. Quindi possiamo associare al tempo di esecuzione di mergesort la funzione temporale
che per il secondo caso del teorema master è Θ(nlogn).
Da notare che questa complessità si mantiene tale in ogni caso, da quello migliore a quello peggiore, ed è questo uno dei punti di forza dell'algoritmo.
Altri progetti
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