Distributività
In matematica, e in particolare nell'algebra, la distributività (o proprietà distributiva) è una proprietà delle operazioni binarie che generalizza la legge distributiva per i numeri dell'algebra elementare. Ad esempio:
- 4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3)
Nel membro sinistro dell'equazione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, moltiplica il 2 e il 3 separatamente, e i risultati sono successivamente sommati. Poiché questo porta alla stessa risposta finale (20), diciamo che la moltiplicazione per 4 distribuisce sull'addizione di 2 e 3. Dal momento che possiamo mettere qualsiasi numero reale al posto di 4, 2, e 3, e ottenere ancora un'equazione verificata, diciamo che la moltiplicazione di numeri reali distribuisce sull'addizione di numeri reali.
Definizione
Dato un insieme S e due operazioni binarie * e + su S, diciamo che
- * è distributiva a sinistra su + se, dati gli elementi generici x, y, e z di S,
- x * (y + z) = (x * y) + (x * z);
- * è distributiva a destra su + se, dati gli elementi generici x, y, e z of S:
- (y + z) * x = (y * x) + (z * x);
- * è distributiva su + se è sia distributiva a destra che distributiva a sinistra.
Si osservi che quando * è commutativa, allora le tre condizioni precedenti sono logicamente equivalenti.
Esempi
- La moltiplicazione fra numeri è distributiva sull'addizione fra numeri per una larga classe di tipi di numeri, dai numeri naturali ai numeri complessi e numeri cardinali.
- La moltiplicazione dei numeri ordinali, al contrario, è solo distributiva a sinistra, e non distributiva a destra.
- La moltiplicazione di matrici è distributiva sulla somma di matrici, anche se non è commutativa.
- L'unione di insiemi è distributiva sull'intersezione, e l'intersezione è distributiva sull'unione. Inoltre l'intersezione è distributiva sulla differenza simmetrica.
- La disgiunzione logica ("or") è distributiva sulla congiunzione logica ("and"), e la congiunzione è distributiva sulla disgiunzione. Inoltre, la congiunzione è distributiva sulla disgiunzione esclusiva ("xor").
- Per i numeri reali (o per ogni insieme totalmente ordinato), l'operazione di massimo è distributiva sull'operazione di minimo, e viceversa: max(a,min(b,c)) = min(max(a,b),max(a,c)) and min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c)).
- Per gli interi, il massimo comune divisore è distributivo rispetto al minimo comune multiplo, e viceversa: M.C.D.(a,m.c.m.(b,c)) = m.c.m.(M.C.D.(a,b),M.C.D.(a,c)) e m.c.m.(a,M.C.D.(b,c)) = M.C.D.(m.c.m.(a,b),m.c.m.(a,c)).
- Per i numeri reali, l'addizione distribuisce sull'operazione di massimo, e anche sull'operazione di minimo: a + max(b,c) = max(a+b,a+c) e a + min(b,c) = min(a+b,a+c).
La distributività si trova spesso negli anelli e nei reticoli distributivi.
Un anello ha due operazioni binarie (chiamate comunemente "+" e "*"), e uno dei requisiti per un anello è che * distribuisca su +. Molti tipi di numeri (esempio 1) e di matrici (esempio 3) formano anelli.
Un reticolo è un altro tipo di struttura algebrica con due operazioni binarie, ^ e v. Se una delle due operazioni (diciamo ^) distribuisce sull'altra (v), allora anche v deve distribuire su ^, e il reticolo è detto distributivo. Vedi anche distributività (teoria dell'ordine).
Gli esempi 4 e 5 sono algebre booleane, che possono essere interpretate come un tipo particolare di anello (un anello booleano) oppure come un tipo particolare di reticolo distributivo (un reticolo booleano). Ciascuna interpretazione è responsabile di differenti leggi distributive nell'algebra booleana. Gli esempi 6 e 7 sono reticoli distributivi che non sono algebre booleane.
Gli anelli e i reticoli distributivi sono entrambi tipi speciali di semianelli, una generalizzazione degli anelli. I numeri nell'esempio 1 che non formano anelli formano comunque semianelli. I quasianelli sono un'ulteriore generalizzazione dei semianelli, e sono distributivi a sinistra ma non distributivi a destra; l'esempio due è un quasianello.
Generalizzazioni della distributività
In molte aree della matematica si considerano leggi distributive generalizzate. Questo può coinvolgere l'indebolimento delle condizioni della definizione oppure l'estensione a operazioni infinitarie. Soprattutto nella teoria dell'ordine, si trovano numerose importanti varianti della distributività, alcune delle quali includono operazioni infinitarie, altre sono definite in presenza di una sola operazione binaria. Dettagli sulle definizioni e sulle loro relazioni si trovano nell'articolo distributività (teoria dell'ordine). È inclusa anche la nozione di reticolo completamente distributivo.
In presenza di una relazione d'ordine, si può indebolire la condizione precedente sostituendo = con ≤ oppure ≥. Naturalmente questo porta a concetti sensati solo in alcune situazioni. Un'applicazione di questo principio è la nozione di sottodistributività.