Particella libera

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In fisica, in particolare in meccanica quantistica, la particella libera è la descrizione di una particella non soggetta ad alcun potenziale.

Caso unidimensionale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger.

L'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo per la funzione d'onda di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)}$ 

con la funzione d'onda preparata nello stato iniziale ${\displaystyle \psi _{(}x,0)=\phi _{k}(x)}$ .
La soluzione più generale nel caso di particella libera è il pacchetto d'onda in una dimensione:

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{i(px-{\frac {p^{2}}{2m}}t)/\hbar }}$ 

dove il fattore prima dell'integrale è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo ${\displaystyle t=0}$  si impone che la funzione d'onda sia:

${\displaystyle \psi (x,t=0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{ipx/\hbar }}$ 

in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante t. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:

${\displaystyle P(x,t)dx=|\psi (x,t)|^{2}dx\ }$ 

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo ${\displaystyle x,x+dx}$ , avendo l'accortezza di normalizzare la funzione d'onda:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,t)|^{2}dx=1}$ 

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un campo vettoriale complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,0)|^{2}dx<\infty }$ 

e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:

${\displaystyle \psi (x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)\ }$ 

dove ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} }$  che suggerisce valevole il principio di sovrapposizione, essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.

Autofunzioni

  Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzione.

Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con le le autofunzioni dell'operatore impulso, dal momento che i due operatori ${\displaystyle {\hat {H}}}$  e ${\displaystyle {\hat {p}}}$  commutano, e possiedono quindi una base di autostati comune.
L'equazione di Schrödinger stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=E\,\phi (x).}$ 

dove m è la massa della particella ed E l'energia dello stato ${\displaystyle \phi }$ .
Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, che può essere posta nella forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=-k^{2}\cdot \phi (x),}$ 

dove ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$  è un parametro reale se ${\displaystyle E\geq 0}$ .
La soluzione generale, dipendente da ${\displaystyle k}$ , può essere scritta nella forma

${\displaystyle \phi _{k}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},}$ 

con A,B coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la condizione al contorno che l'autofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene ${\displaystyle B=0}$  e

${\displaystyle \phi _{k}(x)=A\,e^{ikx},}$ 

La costante A si ricava imponendo che gli stati ${\displaystyle \phi _{k}}$  siano ortonormali. ^[1]

Caso tridimensionale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Particella libera tridimensionale.

In meccanica quantistica la particella libera tridimensionale è un tipico esempio di propagazione di onde sferiche. Essa è descritta da un'equazione di Schrödinger radiale tridimensionale derivata dal moto in un campo centrale in cui il potenziale è nullo. In effetti l'equazione radiale per campi a simmetria sferica è sempre la stessa mentre la soluzione della parte angolare del sistema è sempre data in termini di Armoniche sferiche, in particolare introducendo il momento angolare orbitale.

Note

1. ^ Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della Delta di Dirac

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\phi _{k^{\prime }}^{\ast }(x)\phi _{k}(x)=\vert A\vert ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }dxe^{i(k-k^{\prime })x}=2\pi \vert A\vert ^{2}\delta (k^{\prime }-k),}$ 

   per cui si può porre

   ${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.}$ 

   Una seconda possibilità consiste nel chiudere lo spazio, imponendo condizioni periodiche al contorno su una lunghezza L molto grande:

   ${\displaystyle \phi _{k}(x+L)=\phi _{k}(x).\ }$ 

   In tal caso, i vettori d'onda sono quantizzati

   ${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{L}},\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ 

   e si ha

   ${\displaystyle \int _{-L/2}^{L/2}dx\psi _{k_{m}}^{\ast }(x)\psi _{k_{n}}(x)=\vert A\vert ^{2}\,\delta _{nm}.}$ 

   Pertanto, è sufficiente porre

   ${\displaystyle A={\sqrt {\frac {1}{L}}}}$ 

Voci correlate

• Buca di potenziale
• Gradino di potenziale
• Particella in una scatola
• Oscillatore armonico quantistico

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