Modello autoregressivo a media mobile

In statistica, il modello autoregressivo a media mobile (ARMA), a volte denominato modello di Box-Jenkins dal nome dei suoi inventori George Box e Gwilym Jenkins, viene utilizzato per lo studio delle serie storiche dei dati. Data una serie storica di valori di ${\displaystyle X_{t}\,}$ , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, di una parte autoregressiva (AR) e di una parte di media mobile (MA). Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.

In particolare, il modello può essere assimilato ad un sistema dinamico lineare a tempo continuo le cui coppie ingresso-uscita (u(.), y(.)) sono legate da un’equazione differenziale lineare di ordine n, del tipo:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+{\alpha _{1}}y^{(n-1)}(t)+...+{\alpha _{n}}y^{(0)}(t)={\beta _{0}}u^{(n)}(t)+{\beta _{1}}u^{(n-1)}(t)+...+{\beta _{n}}u^{(0)}(t)\,}$

dove:

${\displaystyle y^{(i)}\,}$ e ${\displaystyle u^{(i)}\,}$ denotano la derivata i-esima.

Nei sistemi discreti l'equazione diviene:

${\displaystyle y(t)+{\alpha _{1}}y(t-1)+...+{\alpha _{n}}y(t-n)={\beta _{0}}u(t)+{\beta _{1}}u(t-1)+...+{\beta _{n}}u(t-n)\,}$

che risolta secondo la variabile ${\displaystyle y(t)\,}$ risulta:

${\displaystyle y(t)=-{\alpha _{1}}y(t-1)-...-{\alpha _{n}}y(t-n)+{\beta _{0}}u(t)+{\beta _{1}}u(t-1)+...+{\beta _{n}}u(t-n)\,}$

Risulta essere quindi la somma di un termine autoregressivo AR costituito dalla parte con i coefficienti ${\displaystyle {\alpha }\,}$ e una parte di moving average MA dei coefficienti ${\displaystyle {\beta }\,}$.

ARMA come MA(∞)

È dimostrabile che un qualunque processo ARMA stazionario può essere espresso in modo equivalente come un Modello moving average di tipo MA(∞).

Voci correlate

• Modello lineare autoregressivo
• Modello a media mobile
• Serie storiche
• Modelli autoregressivi integrati media mobile (ARIMA)

Bibliografia

• George Edward Pelham Box e Gwilym Meirion Jenkins, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden-Day, 1979
• P. Barone, A. Guspini,Confronto fra le prestazioni numeriche di tre algoritmi per la stima dei parametri di modelli ARMA univariati : il caso MA(1), Roma, Istituto per le applicazioni del calcolo "Mauro Picone", Consiglio nazionale delle ricerche, 1983
• Estela Bee Dagum, Analisi Delle Serie Storiche: modellistica, previsione e scomposizione, ISBN 8847001463, Springer, 2002

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