Modello autoregressivo a media mobile

Il modello autoregressivo a media mobile, detto anche ARMA, è un tipo di modello matematico lineare che fornisce istante per istante un valore di uscita basandosi sui precedenti valori in entrata e in uscita. A volte denominato modello di Box-Jenkins dal nome dei suoi inventori George Box e Gwilym Jenkins, viene utilizzato in statistica per lo studio delle serie storiche dei dati o nella modellizzazione soprattutto di sistemi meccanici, idraulici o elettronici.

Caratteristiche

Si considera il sistema da descrivere come un'entità che, istante per istante, riceve un valore in entrata (input) e ne genera uno in uscita (output), calcolati in base a dei parametri interni che variano a loro volta in base a leggi lineari. Ogni parametro interno, dunque, verrà ad ogni istante posto uguale a una combinazione lineare di tutti parametri e del valore in entrata, e il valore in uscita sarà a sua volta una combinazione lineare dei parametri interni e in rari casi di quello in entrata (in tal caso si parla di modello improprio). Algebricamente, i valori in entrata e in uscita in un dato istante sono due scalari e i parametri interni formano un vettore. Lo scalare in uscita è il prodotto tra il vettore dei parametri e un vettore fisso ${\displaystyle c}$  facente parte del modello e di dimensione uguale al numero dei parametri ${\displaystyle n}$ , sommato all'entrata moltiplicata per un coefficiente ${\displaystyle d}$  nei sistemi impropri. Il vettore dei parametri è in ogni istante calcolato come la somma dello scalare in entrata per un vettore ${\displaystyle b}$  e il precedente vettore dei parametri moltiplicato per una matrice ${\displaystyle A}$ .

Linearità

Un modello ARMA ha diverse caratteristiche che lo rendono semplice da analizzare utilizzando degli strumenti matematici sviluppati dagli ingegneri nel corso del tempo:

• linearità: moltiplicando tutti i valori in entrata per un fattore k anche l'uscita risulterà moltiplicata per tale valore. Sommando due sequenze di valori in input si otterrà in output la somma delle sequenze di output che si sarebbero ottenute fornendo i due input indipendentemente.
• tempo invarianza: una certa sequenza in input darà una certa sequenza in output indipendentemente dalla quantità di istanti trascorsi dall'istante zero. Lo stesso concetto di "istante zero" è puramente convenzionale poiché il sistema tende a "dimenticare" il passato, ossia ad esserne influenzato in maniera esponenzialmente decrescente nel corso del tempo (caratteristica detta "evanescenza").

Data una serie storica di valori di ${\displaystyle X_{t}\,}$  , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, di una parte autoregressiva (AR) e di una parte di media mobile (MA). Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.

In particolare, il modello può essere assimilato ad un sistema dinamico lineare a tempo continuo le cui coppie ingresso-uscita (u(.), y(.)) sono legate da un’equazione differenziale lineare di ordine n, del tipo:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+{\alpha _{1}}y^{(n-1)}(t)+...+{\alpha _{n}}y^{(0)}(t)={\beta _{0}}u^{(n)}(t)+{\beta _{1}}u^{(n-1)}(t)+...+{\beta _{n}}u^{(0)}(t)\,}$ 

dove:

${\displaystyle y^{(i)}\,}$  e ${\displaystyle u^{(i)}\,}$  denotano la derivata i-esima.

Nei sistemi discreti l'equazione diviene:

${\displaystyle y(t)+{\alpha _{1}}y(t-1)+...+{\alpha _{n}}y(t-n)={\beta _{0}}u(t)+{\beta _{1}}u(t-1)+...+{\beta _{n}}u(t-n)\,}$ 

che risolta secondo la variabile ${\displaystyle y(t)\,}$  risulta:

${\displaystyle y(t)=-{\alpha _{1}}y(t-1)-...-{\alpha _{n}}y(t-n)+{\beta _{0}}u(t)+{\beta _{1}}u(t-1)+...+{\beta _{n}}u(t-n)\,}$ 

Risulta essere quindi la somma di un termine autoregressivo AR costituito dalla parte con i coefficienti ${\displaystyle {\alpha }\,}$  e una parte di moving average MA dei coefficienti ${\displaystyle {\beta }\,}$ .

ARMA come MA(∞)

È dimostrabile che un qualunque processo ARMA stazionario può essere espresso in modo equivalente come un Modello moving average di tipo MA(∞).

Voci correlate

• Modello lineare autoregressivo
• Modello a media mobile
• Serie storiche
• Modelli autoregressivi integrati media mobile (ARIMA)

Bibliografia

• George Edward Pelham Box e Gwilym Meirion Jenkins, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden-Day, 1979
• P. Barone, A. Guspini,Confronto fra le prestazioni numeriche di tre algoritmi per la stima dei parametri di modelli ARMA univariati : il caso MA(1), Roma, Istituto per le applicazioni del calcolo "Mauro Picone", Consiglio nazionale delle ricerche, 1983
• Estela Bee Dagum, Analisi Delle Serie Storiche: modellistica, previsione e scomposizione, ISBN 8847001463, Springer, 2002

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